Question

2sen^2x - 3senx - 2 = 0

Answer 1

$2\,\mathrm{sen^{2}\,}x-3\,\mathrm{sen}x-2=0$

Façamos a seguinte mudança de variável:

$\mathrm{sen\,}x=t\,,\;\;\;\;\text{ com }-1\leq t \leq 1$

Substituindo, a equação fica

$2t^{2}-3t-2=0\;\;\;\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=2\\b=-3\\c=-2 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot (-2)\\ \\ \Delta=9+16\\ \\ \Delta=25\\ \\ \\ t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ t=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}\\ \\ \\ t=\dfrac{3\pm 5}{4}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{3-5}{4}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{3+5}{4}\\ \\ t=\dfrac{-2}{4}&\;\text{ ou }\;&t=\dfrac{8}{4}\\ \\ t=-\dfrac{1}{2}&\;\text{ ou }\;&t=2\;\text{ (n\~{a}o serve, pois }-1\leq t\leq 1\text{)}\\ \\ &t=-\dfrac{1}{2}& \end{array}$

Substituindo de volta para a variável $x,$ temos

$\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{1}{2}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi&\;\text{ ou }\;&x=\dfrac{11\pi}{6}+2k\pi \end{array}}$
com $k$ inteiro.