2log₄(3x+43) - log₂(x+1)= 1+ log₂(x-3)
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Vamos lá.
Veja, Glautonribeiro, que a resolução é simples.
Tem-se:
2log₄ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Note que a base "4" poderá ser representada por 2². Assim, ficaremos com:
2log₂² (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Agora veja isto: há uma propriedade logarítmica, segundo a qual:
logₐˣ (N) = (1/x)*logₐ (N).
Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a expressão logarítmica 2log₂² (3x+43) ficará sendo: (1/2)*2log₂ (3x+43). Assim, a expressão inteira ficará esta:
(1/2)*2log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3) --- note que (1/2)*2 = 2/2 = 1. Assim:
1log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3) --- ou apenas:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Agora vamos, antes ver quais são as condições de existência. Note que só existem logaritmos de números positivos. Então deveremos impor que todos os logaritmandos sejam maiores do que zero. Assim, deveremos ter que:
3x + 43 > 0
3x > - 43
x > - 43/3
x+1 > 0
x > -1
e, finalmente:
x-3 > 0
x > 3 .
Agora note: entre "x" ser maior do que "-43/3", do que "-1" e do que "3", vai prevalecer x > 3, pois sendo "x" maior do que "3" já é maior do que "-43/3" e do que e maior do que "-1".
Logo, prevalecerá, como única condição de existência:
x > 3 ------ Esta deverá ser a única condição de existência da expressão logarítmica dada.
Agora vamos trabalhar com isso, repetindo a expressão, que é:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Veja que o "1", que está no segundo membro, poderá ser substituído por:
log₂ (2) , pois isso é igual a "1". Então, fazendo mais esta substituição, teremos:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = log₂ (2) + log₂ (x-3)
Agora vamos transformar a subtração do 1º membro em divisão e transformar a soma do 2º membro em produto, ficando assim:
log₂[(3x+43)/(x+1)] = log₂ [2*(x-3)]
Como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos, ficando assim:
(3x+43/(x+1) = 2*(x-3) ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
(3x+43)/(x+1) = (2x-6) ---- multiplicando em cruz, teremos:
3x+43 = (x+1)*(2x-6) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
3x+43 = 2x²-4x-6 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 2x²-4x-6 - 3x - 43 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 2x² - 7x - 49 ------ vamos apenas inverter, ficando:
2x² - 7x - 49 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = - 7/2
x'' = 7
Agora note: apenas a raiz x = 7 satisfaz à única condição de existência que vimos antes (e que era x > 3). A outra deverá ser simplesmente descartada.
Assim, teremos que:
x = 7 <--- Esta é a resposta.
Se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma:
S = {7} .
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Glautonribeiro, que a resolução é simples.
Tem-se:
2log₄ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Note que a base "4" poderá ser representada por 2². Assim, ficaremos com:
2log₂² (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Agora veja isto: há uma propriedade logarítmica, segundo a qual:
logₐˣ (N) = (1/x)*logₐ (N).
Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então a expressão logarítmica 2log₂² (3x+43) ficará sendo: (1/2)*2log₂ (3x+43). Assim, a expressão inteira ficará esta:
(1/2)*2log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3) --- note que (1/2)*2 = 2/2 = 1. Assim:
1log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3) --- ou apenas:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Agora vamos, antes ver quais são as condições de existência. Note que só existem logaritmos de números positivos. Então deveremos impor que todos os logaritmandos sejam maiores do que zero. Assim, deveremos ter que:
3x + 43 > 0
3x > - 43
x > - 43/3
x+1 > 0
x > -1
e, finalmente:
x-3 > 0
x > 3 .
Agora note: entre "x" ser maior do que "-43/3", do que "-1" e do que "3", vai prevalecer x > 3, pois sendo "x" maior do que "3" já é maior do que "-43/3" e do que e maior do que "-1".
Logo, prevalecerá, como única condição de existência:
x > 3 ------ Esta deverá ser a única condição de existência da expressão logarítmica dada.
Agora vamos trabalhar com isso, repetindo a expressão, que é:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = 1 + log₂ (x-3)
Veja que o "1", que está no segundo membro, poderá ser substituído por:
log₂ (2) , pois isso é igual a "1". Então, fazendo mais esta substituição, teremos:
log₂ (3x+43) - log₂ (x+1) = log₂ (2) + log₂ (x-3)
Agora vamos transformar a subtração do 1º membro em divisão e transformar a soma do 2º membro em produto, ficando assim:
log₂[(3x+43)/(x+1)] = log₂ [2*(x-3)]
Como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos, ficando assim:
(3x+43/(x+1) = 2*(x-3) ----- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
(3x+43)/(x+1) = (2x-6) ---- multiplicando em cruz, teremos:
3x+43 = (x+1)*(2x-6) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
3x+43 = 2x²-4x-6 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 2x²-4x-6 - 3x - 43 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 2x² - 7x - 49 ------ vamos apenas inverter, ficando:
2x² - 7x - 49 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = - 7/2
x'' = 7
Agora note: apenas a raiz x = 7 satisfaz à única condição de existência que vimos antes (e que era x > 3). A outra deverá ser simplesmente descartada.
Assim, teremos que:
x = 7 <--- Esta é a resposta.
Se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma:
S = {7} .
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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