Question

2ª parte: Cálculo de volume de um sólido de revolução!

Answer 1

4)

Repare que Y = 2-2x² é maior que Y = 1-x² em todo intervalo de -1 a 1:

Mas invés de calcularmos de -1 a 1, podemos calcular de 0 a 1 multiplicado por 2:

$\\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {(2-2x^2)-(1-x^2)^2} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {2^2-2*2*2x^2+(2x^2)^2-(1^2-2*1*x^2+(x^2)^2)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {4-8x^2+4x^4-1+2x^2-x^4} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^1_0 {3x^4-6x^2+3} \, dx \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{3x^5}{5} - \frac{6x^3}{3} +3x](0,1) \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{3x^5}{5} - 2x^3 +3x](0,1) \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{3(1)^5}{5} -2(1)^3+3(1)-0] \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{3}{5} +1]$

$\\ V = 2 \pi [ \frac{3}{5} +1] \\ \\ V = 2 \pi * \frac{8}{5} \\ \\ V = \frac{16 \pi }{5}$

Eu fiz pelo dois jeito. O que está no anunciado daria um volume de 14pi/3
Tem erro nessa questão.
-------------------------------------------

5)

Y = 0 é maior que Y = x²-4x

De 0 a 4:

$\\ V = \pi \int\limits^4_0 {0^2-(x^2-4x)^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^4_0 {-((x^2)^2-2*x^2*4x+(4x)^2) \\ } \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^4_0{-(x^4-8x^3+16x^2)} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^4_0 {-x^4+8x^3-16x^2} \, dx \\ \\ V = \pi [\frac{-x^5}{5}+ \frac{8x^4}{4} - \frac{16x^3}{3} ](0,4) \\ \\ V = \pi [ \frac{-(4)^5}{5} +2(4)^4- \frac{16(4)^3}{3} -0] \\ \\ V = \pi [ \frac{-1024}{5} +512- \frac{1024}{3} ]$


$\\ V = \pi [ \frac{-1024*3+15*512-5*1024}{15} ] \\ \\ V = \pi [ \frac{-512}{15} ] \\ \\ V = |\pi [ \frac{-512}{15} ]| \\ \\ V = \frac{512 \pi }{15} u.v$

-----------------------------------------------

6)

Limites de 1 a 3:

Função superior Y = 1/x e inferior Y = 0


$\\ V = \pi \int\limits^3_1 { (\frac{1}{x})^2-0^2 } \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^3_1 { \frac{1}{x^2} } \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^3_1 { x^-^2} \, dx \\ \\ V = \pi [ \frac{x^-^1}{-1} ](1,3) \\ \\ V = \pi [- \frac{1}{x} ](1,3) \\ \\ V = \pi [- \frac{1}{3} -(- \frac{1}{1} )] \\ \\ V = \pi [ -\frac{1}{3} +1] \\ \\ V = \pi [ \frac{2}{3} ] \\ \\ V = \frac{2 \pi }{3} u.v$