Question

26- Se d=a²+b²+c², onde a e b são inteiros consecutivos e c é o produto dos anteriores. Prove que √d é um inteiro ímpar.​

Answer 1

Após os devidos cálculos concluímos que √d é um inteiro ímpar.

Solução:

Para provar que √d é um inteiro ímpar devemos saber que números pares são aqueles cujo último dígito é o número 0, 2, 4, 6, 8, portanto um número ímpar é aquele cujo último dígito termina com o número 1 , 3, 5, 7, 9. Note que não será possível provar por substituição que √d já que existem infinitos números inteiros, portanto existem infinitos números pares e ímpares, então pode ser que em algum ponto √d se torne um número par sem mesmo saber.

Portanto, vamos realizar esta demonstração simplificando nossa expressão inicial usando a algreba e, além disso, usaremos algumas propriedades dos números pares e ímpares. Sabemos que "a" e "b" são inteiros consecutivos, então "a" e "b" podem ser escritos como "k" e "k+1", onde k é um inteiro. Agora como "a" e "b" são iguais a "k" e "k+1" então "c" é igual a "k[k+1]" já que é o produto dos números anteriores, ou seja "a" e "b".

• Portanto, podemos dizer que nossa expressão inicial algebricamente pode ser escrita como:

$d = k^2+\left(k+1\right)^2+\left(k\cdot \left[k+1\right]\right)\\\\\\ d=k^2+\left(k+1\right)^2+\left(k^2+k\right)$

Poderíamos pensar que esta expressão não pode ser simplificada ainda mais, mas observe que "k+1" e "k²+k" são binômios, portanto, ao elevar um binômio ao quadrado, seu resultado seria igual ao quadrado do primeiro termo mais o dobro do segundo e último termo mais o quadrado do último termo. Portanto, podemos simplificar nossa expressão como:

$d=k^2+k^2+2\cdot k\cdot 1+1^2+k^4+ 2\cdot k^2\cdot k+k^2\\\\\\ d=3k^2+2k+1+k^4+2k^3\\\\\\ d=k^4+2k^3+3k^2+2k+1$

Podemos apreciar o formato que nossa equação agora tem, agora podemos pensar que esse é o máximo que pode ser simplificado e pronto, mas observe que não é, pois podemos obter o número k² como um fator comum em toda nossa expressão, para que possamos obter:

$d=k^2\cdot\left[k^2+2k+3 + \dfrac{2}{k}+\dfrac{1}{k^2}\right]\\\\\\ d=k^2\cdot\left[k^2+2+\dfrac{1}{k^2}+ 1+2k+\dfrac{2}{k}\right]\\\\\\ d=k^2\cdot\left[\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2+1+2\cdot\left(k+\dfrac{1}{k}\right)\right]$

Observe que simplificar nossa expressão parece um pouco mais complexo, portanto, para remover toda essa complexidade, devemos aplicar uma mudança de variável à nossa expressão que temos agora. Vamos substituir uma expressão que se repete muitas vezes em nossa expressão por uma variável que decidi chamar de "m", podemos ver que "k+1/k" é uma expressão que se repete várias vezes, portanto quando troque "k +1/k" por "m" não estamos alterando nada (desde que nos lembremos do que é igual).

$d = k^2\cdot \left[m ^2+1+2m\right]\\\\\\ d=k^2\cdot \left(m+1\right)^2$

Observe que agora temos uma expressão ainda mais fácil de entender, então quando calculamos √d podemos obter:

$\sqrt{d}=k\cdot \left(m+1\right)\\\\\\\sqrt{d}=km+k\\\\\\ \sqrt{d}=k\cdot\left(k+\dfrac{1}{k} \right)+k\\\\\\\sqrt{d}=k^2+k+1 \quad\to\quad \sqrt{d}=k\cdot\left(k+1\right)+1$

Sabemos que "k" é um número inteiro, então pode ser par ou ímpar. Se "k" for par "k+1" é um número ímpar e vice-versa, portanto sempre teremos como resultado o produto de um número ímpar por um número par que resultará em um número par. Como 1 é um número ímpar e estamos somando um par com um número ímpar, obteremos como resultado um número ímpar, portanto acabamos de provar que √d é um inteiro ímpar.