Question

25 pontos

(U. S. Judas tadeu-sp) dada a sequência de números reais 2x-1, x+2, x^(2)+4x, y+(1/3), sabendo que os três primeiros termos estão em progressão aritmética e os três últimos, em progressão geométrica. Nessa condições, determine a soma x+y, com (x+y) pertencente aos |N (naturais)

spoiler: resposta certa "x+y=9"

Answer 1

 Olá Leonardm12!

De acordo com o enunciado, os três termos iniciais estão em P.A, desse modo, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{a_2 - a_1 = r = a_3 - a_2} \\\\ \mathsf{a_2 - a_1 = a_3 - a_2} \\\\ \mathsf{x + 2 - (2x - 1) = x^2 + 4x - (x + 2)} \\\\ \mathsf{x + 2 - 2x + 1 = x^2 + 4x - x - 2} \\\\ \mathsf{3 - x = x^2 + 3x - 2} \\\\ \mathsf{x^2 + 4x - 5 = 0} \\\\ \mathsf{(x + 5)(x - 1) = 0} \\\\ \mathsf{S = \{ - 5, 1 \}}$

 Ou seja, "x" pode assumir dois valores.


 Quanto a segunda sequência, trata-se de uma P.G, por essa razão fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{b_2}{b_1} = q = \frac{b_3}{b_2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^2 + 4}{x + 2} = \frac{y + \frac{1}{3}}{x^2 + 4x}} \\\\\\ \mathsf{y + \frac{1}{3} = \frac{(x^2 + 4x)^2}{x + 2} \qquad \qquad \qquad \qquad (*)}$ 


 Bom! para determinar o valor de "y" devemos substituir os valores de "x" em (*). Segue,


# Quando x = - 5:

$\\ \mathsf{y + \dfrac{1}{3} = \dfrac{(25 - 20)^2}{- 3}} \Rightarrow \mathsf{y < 0}$

 Com efeito, $\mathsf{x + y \notin \mathbb{N}}$. Portanto, "x" não pode ser (- 5)!


# Quando x = 1:

$\\ \mathsf{y+\dfrac{1}{3}=\dfrac{(1+4)^2}{3}} \\\\\\ \mathsf{y = \dfrac{25}{3} - \dfrac{1}{3}} \\\\\\ \mathsf{y = 8}$


  Por fim, concluímos que:

$\\ \mathsf{x + y = 1 + 8} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x + y = 9}}}$