Question

(25 Pontos) Encontre os 3 valores de x na equação:

$x^3+3x^2-249x-1547=0$

Expliquem a resolução passo a passo!

Answer 1

Olá Vinicius.


Em equações polinomiais de grau maior que 2, o que devemos fazer é fatorar o termo independente e um de seus fatores deverá ser a raiz da equação, tanto positivo quanto negativo.

Fatorando o termo independente 1.547:

De cara vejo que 1.547 não é divisível por 2 pelo fato desse número não ser par, não é divisível por 3 pelo fato da soma de seus algarismos não ser múltiplo de 3 e nem por 5, pois não é terminado em 5 ou 0.

Verificando agora por 7:

154 - 2 . 7
154 - 14
140 $\checkmark$


O critério de divisibilidade por 7, é retirar o ultimo algarismo do número original e subtrai-lo pelo dobro do número retirado. Acima como 140 é divisível por 7, o original também é:


1.547 | 7
   221 | 


Checando o critério de divisibilidade dos números primos até 7, temos que 221 não é divisível por nenhum deles. Checando se 221 é divisível para o próximo número primo (11).

2 - 2 + 1 = 1

Para saber se um número é divisível por 11, você vai organizar os algarismos lado a lado e vai colocar começando pelo último algarismo da direita o sinal de positivo e nos demais você irá alternando o sinal. Se o resultado for 0, o número original será divisível por 11, o que não é caso de 221.

Próximo número primo (13):

22 + 4 . 1
22 + 4
 26 $\mathsf{\checkmark}$

Para saber se um número é divisível por 13 o critério é semelhante ao do 11, a diferença é que você irá remover o último algarismo e multiplica-lo por 4 e somar com o novo número sem o ultimo algarismo.


1.547 | 7
   221 | 13
    17  | 17
      1  | 1

P.R = {7, 13, 17, 1}


Ás possíveis raízes podem assumir valor positivo e negativo. Lembrando também que existe as possíveis raízes fracionárias, que seria os divisores do termo independente dividido pelo coeficiente linear $\mathsf{ax^n}$ . Nesse caso é 1, portanto elas não será consideradas.

Fazendo o teste das possíveis raízes, veremos que -7 é uma delas.

Iremos aplicar agora o dispositivo de Briot Ruffini de modo a diminuir o grau da equação e achar as demais raízes.


$\mathsf{x^3+3x^2 - 249x - 1547=0}\\\\\\\begin{array}{c|c|c}&\mathsf{1~~~3~~-249}&\mathsf{-1547}\\\mathsf{-7}&\downarrow\mathsf{-7~~~~~~~28}&\mathsf{+1547}\\&\mathsf{1-4~-221}&\mathsf{0}\end{array}\\\\\\\mathsf{x^2-4x-221=0}$


Resolvendo a equação do segundo grau acima pelo método de completar quadrados:


$\mathsf{x^2-2\cdot2\cdot x-221=0~~+(2^2)}\\\\\mathsf{x^2-2\cdot2\cdot x +4=221+4}\\\\\mathsf{(x-2)^2=225}\\\\\mathsf{\sqrt{(x-2)^2}=\pm\sqrt{225}}\\\\\mathsf{x-2=\pm15}\\\\\\\mathsf{x'=15+2}\\\\\boxed{\mathsf{x'=17}}\\\\\\\\\mathsf{x''=-15+2}\\\\\boxed{\mathsf{x''=-13}}$


Para achar a raiz de 225 basta fatora-lo:

225 | 5
  45 | 5
   9  | 3
   3  | 3
   1  | 1

225 = 5² . 3²
225 = (15)²


${\mathsf{S:}\begin{cases}\mathsf{-7}\\\mathsf{-13}\\\mathsf{~~17}\end{cases}$



Dúvidas? comente.

Answer 2

x³ + 3x² - 249x - 1547 = 0
a soma dos coeficientes  a + b + d = -3   e o    produto a.b.d = 1547
P= a² . (-d)                   S = -b
P = 1² . (- 1547)           S = - (3)
P = 1547                      S = -3

Fatoramos o produto: 
1547 : 7
  221 : 13
    17 : 17
      1  : 1
      1
nós temos 7, 13, 17 
agora vamos ver como combinar esses números para dar como soma -3 e como produto 1547. Para o produto dar positivo, teremos de ter pelo menos dois números negativos. 
17 . -13. -7  = 1 547 (produto das raízes)
17 - 13 - 7  = -3  (soma das raízes)

S = {17, -13, -7}