24. Encontre o valor de p para que a equação
x2 + p x + 12 = 0 tenha como raízes os valores 3 e
4.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Alicia, que a resolução é simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para determinar o valor de "p" para que a equação abaixo tenha como raízes os valores "3" e "4":
x² + px + 12 = 0
ii) Note que há várias formas de resolver a sua questão. Vamos dar duas delas principais. Antes veja que os coeficientes da sua questão são estes:
a = 1 --- (é o coeficiente de x²); b = p --- (é o coeficiente de x); c = 12 ---- (é o coeficiente do termo independente).
ii.1) Primeira forma: utilizaremos a soma das raízes, que já sabemos que são "3" e "4". Veja que a fórmula para encontrar a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
x' + x'' = -b/a ------ como as raízes são "3" e "4" e como "b" = p e como "a" = 1 (vide coeficientes vistos antes), teremos:
3 + 4 = -p/1 ----- desenvolvendo, temos:
7 = - p ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
-7 = p ---- vamos apenas inverter, ficando assim:
p = - 7 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor procurado de "p" na sua questão original [x² + px + 12 = 0].
ii.2) Segunda forma: encontraremos a equação em função de suas raízes (3 e 4). E, uma vez encontrada, saberemos qual será o valor de "p". Veja que uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, com raízes iguais a x' e a x'', será encontrada em função de suas raízes da seguinte forma:
ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'').
No caso da equação da sua questão, em que já vimos que a = 1 e que as raízes são "3" e "4", então, a equação será esta:
x² + px + 12 = 1*(x-3)*(x-4) ----- desenvolvendo os produtos indicados no 2º membro, teremos:
x² + px + 12 = x²-4x-3x+12 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x² + px + 12 = x² - 7x + 12 ----- note que o valor de "p" é realmente igual a "-7", conforme já havíamos encontrado na primeira forma. Veja que deixamos o "p" e o "-7" em negrito para ficar bem visível que p = -7.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
p = -7
Explicação passo-a-passo:
x² + px + 12 = 0
Veja que S=-b/a
3 + 4 = -p/1
7=-p/1
-p = 7
p = - 7
Bons Estudos :)