Question

24. Determine o parâmetro a para que as raízes x1 e x2 da equação...​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores para o parâmetro "a" são respectivamente:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf a' = 2\:\:\:ou\:\:\:a'' = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:B\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau - equação quadrática:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2ax + a^{2} - a + 8 = 0\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                 $\Large\begin{cases} A = 1\\B = -2a\\C = a^{2} - a + 8\end{cases}$    

Sabemos que a seguinte relação é satisfeita:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}= \frac{2}{5}\end{gathered} }$

Observe que a referida relação se refere à soma dos inversos das raízes da equação do segundo grau. Sabendo que para calcular a soma dos inversos das raízes da equação do segundo grau podemos utilizar a seguinte fórmula:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S_{i} = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = -\frac{B}{C} \end{gathered} }$

Então, temos:

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{2}{5} = -\bigg(\frac{-2a}{a^{2} - a + 8}\bigg)\end{gathered} }$

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{2}{5} = \frac{2a}{a^{2} - a + 8}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot(a^{2} - a + 8) = 5\cdot2a\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2a^{2} - 2a + 16 = 10a\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2a^{2} - 2a - 10a + 16 = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2a^{2} - 12a + 16 = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{2a^{2}}{2} - \frac{12a}{2} + \frac{16}{2} = \frac{0}{2}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} a^{2} - 6a + 8 = 0\end{gathered}$

Calculando o valor das raízes, temos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} a = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 - 32}}{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{4}}{2}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{6\pm2}{2}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm1\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

        $\Large\begin{cases} a' = 3 - 1 = 2\\a'' = 3 + 1 = 4\end{cases}$

✅ Portanto:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} a' = 2\:\:\:ou\:\:\:a'' = 4\end{gathered}$

     

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