Question

23. Sabe-se que a base de um prisma é um triângulo equilátero com 12 cm de perímetro e que a medida de sua altura é igual a 5 /2 da medida da altura da base. Relativamente a esse prisma, determine:
a) A área total;
b) O volume.

Answer 1

Utilizando formulações de volume e área temos:

a) A área total;

$A=64\sqrt{3}cm^2$

b) O volume.

$V=60cm^#$

Explicação passo-a-passo:

Então temos que o triangulo da base deste prisma tem perímetro de 12 cm, que é  soma dos lados, então:

P = L + L + L

12 = 3L

L = 4 cm

Assim este triangulo tem lado de 4 cm.

Para encontrarmos a altura do triangulo da base, basta utilizarmos a relação de altura e lado de um triangulo equilátero:

$L^2=h^2+\frac{L^2}{4}$

$L^2-\frac{L^2}{4}=h^2$

$\frac{4L^2-L^2}{4}=h^2$

$\frac{3L^2}{4}=h^2$

$h^2=\frac{3L^2}{4}$

$h=\frac{L\sqrt{3}}{2}$

$h=\frac{4.\sqrt{3}}{2}$

$h=2\sqrt{3}$

Assim sabemos a altura deste triangulo, e assim podemos encontrar a altura H do prisma, que é 5/2 da altura da base:

$H=\frac{5}{2}h=\frac{5}{2}2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$

E por fim podemos encontrar a área da base usando a medida do lado:

$A_b=\frac{L^2\sqrt{3}}{4}$

$A_b=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}$

$A_b=4\sqrt{3}$

E podemos também encontrar a área lateral que é 3 vezes a área de um dos lados:

$A_l=3.L.H=3.4.5\sqrt{3}=60\sqrt{3}$

Assim somando a área lateral mais duas vezes a área da base (pois o teto também tem área), temos a área total:

$A_l+A_b=60\sqrt{3}+4\sqrt{3}=64\sqrt{3}$

E para encontrarmos o volume é basicamente área da base vezes altura H:

$V=A_b.H=4\sqrt{3}.5\sqrt{3}=20.3=60$

Assim temos:

a) A área total;

$A=64\sqrt{3}cm^2$

b) O volume.

$V=60cm^#$