Question

23. Em um dodecágono convexo há 7 diago- nais traçadas que partem todas de um mesmo vértice. a) Quantas diagonais ainda é possível traçar nesse polígono a partir desse mesmo vértice? Por quê? b) No total, quantas diagonais tem esse polígono?​

Answer 1

Resposta:

a) 2 diagonais

b) 54 diagonais

Explicação passo a passo:

Vamos rever aqui algumas coisas:

Dodecágono -> Polígono com 12 lados

Diagonal -> Segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos

a) Para compreendermos melhor a pergunta vamos ilustrar o que somos dados. (awkw.png)

Como vês, traçamos 7 diagonais quaisquer a partir de um vértice qualquer e falta-nos traçar 2 diagonais para perfazer o máximo de diagonais possíveis

a partir deste vértice, ou seja a resposta é 2. (Outra forma de resolver é lembrar a definição de diagonal e dodecágono sendo que não podem ser vértices consecutivos vamos retirar 2 a 12 ficando 10 e vamos retirar 1 pelo facto de estamos a considerar o próprio vértice ficando com 9 e agora bastava fazer 9 - 7 = 2.)

b) Existe uma fórmula para descobrir o número de diagonais de um polígono convexo qualquer:

$\frac{n(n - 3)}{2}$, sendo n o número de lados do polígono.

Vamos substituir n por 12: $\frac{12(12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = 54$

E assim sabemos que existe 54 diagonais neste polígono.