Question

21. Na figura, temos um quadrado ABCD inscrito no
triângulo PQR. Se QC é igual ao lado do quadrado, RD = 3 m, a altura, relativa a AB, do triângulo PAB é igual a 4 m, determine a medida do lado do quadrado.
a) 2.
b) 6.
c) 10.
d) 12.
e) 15.​

Answer 1

A medida do lado do quadrado é 6.

Vamos considerar que x é a medida do quadrado ABCD.

Como QC possui a mesma medida do lado do quadrado, então podemos afirmar que o triângulo BCQ é isósceles.

Sendo assim, os ângulos CBQ e PBA medem 45º.

Traçando a altura do triângulo PQR, como mostra a figura abaixo, obtemos:

• PE = EB = 4
• PF = 4 + x
• AE = DF = x - 4.

Os triângulos PAE e PRF são semelhantes.

Então, podemos dizer que:

4/(x - 4) = (4 + x)/(x - 1)

4(x - 1) = (x + 4)(x - 4)

4x - 4 = x² - 16

x² - 4x - 12 = 0.

A equação do segundo grau acima possui raízes 6 e -2. Como x é uma medida, então não podemos utilizar o valor negativo.

Assim, podemos concluir que a medida do lado do quadrado é 6.