Question

21. Determine os valores de k para que a função f(x)=x²-4x-k seja positiva para todo x real.

Answer 1

Para que a função seja positiva em todo "x" real, a função não pode possuir raízes reais, ou seja, o discriminante "Δ" deve ser menor que zero. Vejamos:

f(x) = x² - 4x - k

a = 1
b = -4
c = -k

Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4 * 1 * (-k)
Δ = 16 + 4k

Como Δ < 0, temos que:

Δ < 0
16 + 4k < 0
4k < -16
k < -16/4
k < -4

Portanto, para "k < -4", temos que a função será sempre positiva.

Answer 2

✅ Uma função polinomial é do segundo grau (quadrática), quando o maior grau dentre seus termos for "2".

Sendo a função quadrática fornecida:

        $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 4x - k \end{gathered}$

Para que a referida função seja estritamente positiva, é necessário que o seu gráfico - parábola - se desenvolva na parte de cima do eixo das abscissas, isto é, se desenvolva nos 2 primeiros quadrantes do plano cartesiano, sem tocar o eixo das abscissas. Desta forma, isso só irá acontecer quando o valor do delta - discriminante - for menor que "0", ou seja:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta < 0 \end{gathered}$

Se a f(x) dá origem à seguinte equação:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} - 4x - k = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                    $\large\begin{cases}a = 1\\b = -4\\c = -k\end{cases}$

Então:

                                 $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta < 0 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}b^{2} - 4\cdot a\cdot c < 0 \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot(-k) < 0 \end{gathered}$

                        $\large\displaystyle\begin{gathered} 16 + 4k< 0 \end{gathered}$

                                  $\large\displaystyle\begin{gathered}4k < -16 \end{gathered}$

                                    $\large\displaystyle\begin{gathered}k < - \frac{16}{4} \end{gathered}$

                                    $\large\displaystyle\begin{gathered}k < -4 \end{gathered}$

✅ Portanto, para que o sinal da função seja estritamente positivo, o valor de k será:

                                     $\large\displaystyle\begin{gathered}k < -4 \end{gathered}$

OBSERVAÇÕES:

1. Se Δ > -4, parte da função terá sinal negativo, um dos valores terá sinal nulo e outra parte terá sinal positivo;
2. Se Δ = -4, um dos valores terá sinal nulo e a outra parte terá sinal positivo;
3. Se Δ < -4, toda a função terá sinal positivo.

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Solução gráfica: