Question

21. Certo poliedro convexo é formado apenas por
faces pentagonais e hexagonais, todas regulares.
Sabendo que esse poliedro possui 90 arestas e
que a soma dos ângulos internos de suas faces
é igual a 20 880°, calcule a quantidade de faces
pentagonais e hexagonais desse poliedro.​

Answer 1

O poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

Vamos considerar que:

• F5 = quantidade de faces pentagonais
• F6 = quantidade de faces hexagonais.

A quantidade total de faces do poliedro é igual a F = F5 + F6.

Além disso, temos que a quantidade de arestas é igual a:

A = (5.F5 + 6.F6)/2.

Como A = 90, então podemos dizer que:

90.2 = 5.F5 + 6.F6

180 = 5.F5 + 6.F6.

A soma dos ângulos internos das faces do poliedro é calculada pela fórmula S = (V - 2).360.

Como a soma é igual a 20880º, então:

20880 = (V - 2).360

58 = V - 2

V = 60.

A Relação de Euler nos diz que: V + F = A + 2.

Dito isso, temos que:

60 + F = 90 + 2

F = 32.

Assim, temos que F5 + F6 = 32, que é o mesmo que F5 = 32 - F6.

Substituindo o valor de F5 na equação 180 = 5.F5 + 6.F6:

180 = 5(32 - F6) + 6.F6

180 = 160 - 5.F6 + 6.F6

F6 = 20.

Logo, o número de faces pentagonais é igual a:

F5 = 32 - 20

F5 = 12.