Question

2016.2-U2S2-ADG-CDI2-Q03-Enunc.JPG
Escolha uma:
a. 0
b. ½
c. 2
d. 3/2
e. 1

Answer 1

$\int\limits^\pi_0 {sen~x\cdot cos~x} \, dx \\ \\ Dizemos~que:\\ \\ u = sen~x\\ du = cos~x~dx\\ \\ Substituindo:\\ \\ \int\limits^\pi_0 {u} \, du\\ \\ \boxed{\int x^n~dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}}\\ \\ Resolvendo:\\ \\ \int = \frac{u^2}{2}\\ \\ \int = \boxed{\frac{sen^2x}{2} }$

$\int\limits^\pi_0 = \dfrac{sen^2\pi}{2}-\frac{sen^20}{2}\\ \\ \boxed{\int\limits^\pi_0 = 0}$

Answer 2

Dada a integral definida:

$\mathsf{\int _0^{\pi }sen\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)dx}$

Inicialmente iremos calcular a derivada indefinida:

$\mathsf{\int sen\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)dx}$

Utilizando o método da substituição:

$\mathsf{k=sen\left(x\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(i\right)}$

Onde:

$\mathsf{\dfrac{dk}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(sen\left(x\right)\right)}\\\\\mathsf{\dfrac{dk}{dx}=cos\left(x\right)}\\\\\mathsf{dx=\dfrac{dk}{cos\left(x\right)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(ii\right)}$

Substituindo (i) e (ii) na integral indefinida teremos:

$\mathsf{\int \:k\cdot cos\left(x\right)\cdot \dfrac{dk}{cos\left(x\right)}}\\\\\\\mathsf{\int \:\dfrac{k\cdot \diagup\!\!\!\!\!\!\!\! cos\left(x\right)}{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!cos\left(x\right)}dk}\\\\\\\mathsf{\int \:(k)\:dk}\\\\\\\mathsf{}\\\\\\\mathsf{}\\\\\\\mathsf{}\\\\\\\mathsf{}\\\\\\\mathsf{}\\\\\\\mathsf{}$

Utilizando a propriedade da potencia:

$\mathsf{\int \:\left(x^n\right)\:dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$

Logo:

$\mathsf{\int \:\left(k\right)dk=\dfrac{k^2}{2}+C=\dfrac{sen^2\left(x\right)}{2}+C}$

Lembrando da propriedade da integral definida:

$\mathsf{\int _a^bx^n\:dx=a^n-b^n}$

Por fim:

$\mathsf{\int _0^{\pi }sen\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)=}\\\\\mathsf{\int _0^{\pi }\dfrac{sen^2\left(x\right)}{2}=}\\\\\mathsf{\dfrac{sen^2\left(\pi \right)}{2}-\dfrac{sen^2\left(0\right)}{2}=}\\\\\mathsf{0-0=}\\\\\mathsf{0}$

- - - - -

$\boxed{\mathsf{Resposta:\:Letra\:A:\:\int _0^{\pi }sen\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)=0}}\: \: \checkmark$