Question

20 PONTOS!!!!



UNIFEI
Se um triangulo equilatero de lado raizde75 esta inscrito num circulo
Qual é o raio?

Answer 1

O raio é a medida do segmento AC menos o segmento FC da imagem anexo.

O enunciado fala que o triângulo é equilátero, logo seus ângulos internos são iguais a 60⁰.

O ponto F é o baricentro do triângulo circunscrito, então o segmento AC e BF dividem o vértice do triângulo ao meio.

(segmento AC)
O segmento AC pode ser calculado pelo triângulo reto ACB relacionando seus lados com a tangente de 60⁰ do ângulo CBA.
$\tan60^o = \sqrt3\\\\ \tan60^o = \frac{AC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\ \sqrt3 = \frac{AC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\ \sqrt3\times \frac{\sqrt{75}}{2} = AC\\\\ AC = \frac{\sqrt{225}}{2}\\\\ \boxed{AC = \frac{15}{2}}$

(segmento FC)
O segmento FC pode ser calculado pelo triângulo reto FCB relacionando seus lados com a tangente de 30⁰ do ângulo CBF.
$\tan30^o = \frac{1}{\sqrt3}\\\\ \tan30^o = \frac{FC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\ \frac{1}{\sqrt3} = \frac{FC}{\frac{\sqrt{75}}{2}}\\\\ \frac{\sqrt{75}}{2} = FC\times \sqrt3\\\\ FC = \frac{\sqrt{75}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ FC = \frac{\sqrt{75}}{2\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\ FC = \frac{\sqrt{75}\sqrt3}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}\\\\ FC = \frac{\sqrt{225}}{6}\\\\ FC = \frac{15}{6}\\\\ \boxed{FC = \frac{5}{2}}$

Subtraindo os segmentos AC - FC temos o raio.
$AC - FC = raio\\\\ AC = \frac{15}{2}\\\\ FC = \frac{5}{2}\\\\ raio=\frac{15}{2}-\frac{5}{2}\\\\ raio=\frac{10}{2}\\\\ \boxed{raio=5}$

Resposta D

ps: um caminho mais curto seria usar a lei dos senos para o triângulo AFB onde:

$\frac{raio}{sen(30^o)} = \frac{\sqrt{75}}{sen(120^o)}\\\\ sen(120^o) = sen(60^o)\\\\ \frac{raio}{sen(30^o)} = \frac{\sqrt{75}}{sen(60^o)}\\\\ \sqrt{75}\times sen(30^o) = raio\times sen(60^o)\\\\ \sqrt{75}\times \frac{1}{2} = raio\times \frac{\sqrt3}{2}\\\\ \sqrt{75} = raio\times \sqrt{3}\\\\ raio = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}\times \frac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\ raio = \frac{\sqrt{225}}{3}\\\\ raio = \frac{15}{3}\\\\ \boxed{raio = 5}$