Question

(20 PONTOS) Sobre propriedades dos somatórios:
$~$
Mostre que

a) $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{f(k)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{f(n-k)}$

b) Generalize o resultado acima, mostrando que, para todo $p$ natural, $p\leq \left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor\!,$ vale

$\displaystyle\sum\limits_{k=p}^{n-p}{f(k)}=\sum\limits_{k=p}^{n-p}{f(n-k)}$

Answer 1

a)

Vamos expandir o primeiro somatório:

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}f(k)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(n-1)+f(n)$

Expandindo o segundo, temos:

$S_{2}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}f(n-k)\\\\\\S_{2}=f(n-0)+f(n-1)+...+f(n-[n-1])+f(n-n)\\\\\\S_{2}=f(n)+f(n-1)+...+f(1)+f(0)$

Se invertermos a ordem das parcelas da soma, encontramos

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}f(n-k)=f(0)+f(1)+...+f(n-1)+f(n)$

Que é justamente a expansão do primeiro somatório. Então:

$\boxed{\boxed{\sum\limits_{k=0}^{n}f(k)=\sum\limits_{k=0}^{n}f(n-k)}}$
________________________________

b)

Expandindo o primeiro somatório:

$S_{1}=\displaystyle\sum\limits_{k=p}^{n-p}f(k)\\\\\\S_{1}=f(p)+f(p+1)+...+f(n-p-1)+f(n-p)$

Expandindo o segundo somatório:

$S_{2}=\displaystyle\sum\limits_{k=p}^{n-p}f(n-k)\\\\\\S_{2}=f(n-p)+f(n-[p+1])+...+f(n-[n-p+1])+f(n-[n-p])\\\\S_{2}=f(n-p)+f(n-p-1)+...+f(p-1)+f(p)$

Rearrumando a soma:

$S_{2}=f(p)+f(p+1)+...+f(n-p-1)+f(n-p)$

E, novamente, as duas somas são iguais. Logo:

$\boxed{\boxed{\sum\limits_{n=p}^{n-p}f(k)=\sum\limits_{n=p}^{n-p}f(n-k)}}$