Question

20 PONTOS

A) Mostre que se A ∈ N , então (a + $a^{2}$) e (a - $a^{2}$) são dois números pares

B) Mostre se A ∈ N , então existem números inteiros X e Y satisfazendo a equação $x^{2}$ - $y^{2}$ = (x+y) (x-y) = $a^{2}$ a. OBS: Use i item A

Answer 1

A)
a ∈ N =>  (a + ) e (a - )  são pares.

Suponhamos que a seja ímpar, ou seja, a = 2.n + 1, onde  n ∈ N:

(2.n + 1 + (2.n + 1)²)  = 2.n + 1 + 4.n² + 4.n + 1 = 4.n² + 6.n + 2 = 2.(2.n² + 3.n + 1)
Portanto 2.(2.n² + 3.n + 1) é par pois o resultado é múltiplo de 2, independente do valor que resulte da expressão entre parênteses.

Suponhamos que a seja par, ou seja, a = 2.n, onde n ∈ N:

(2.n + (2.n)²) = 2.n + 4.n² = 2.(n + 2.n²) 
Portanto 2.(n + 2.n²) é par pois o resultado é múltiplo de 2, independente do valor que resulte da expressão entre parênteses.

A mesma prova é feita para (a - ).

B)

Vou dormir... Amanhã continuo.