Question

㏒₂(x-1) + log[1/2] (x-2) = log₂x [1/2] é a base do logaritmo

Answer 1

Acho que essa é a resposta mais cabível:

Answer 2

$log_2 \ (x - 1) + log_{ \frac{1}{2}} \ (x - 2) = log_2 \ x\\ \\log_2 \ (x - 1) + \frac{log_2 \ (x-2)}{log_2 \ (1/2)}} = log_2 \ x\\ \\log_2 \ (x - 1) + \frac{log_2 \ (x-2)}{log_2 \ 2^{-1}} = log_2 \ x\\ \\log_2 \ (x - 1) + \frac{log_2 \ (x-2)}{-1\cdot log_2 \ 2} = log_2 \ x\\ \\log_2 \ (x - 1) + \frac{log_2 \ (x-2)}{-1\cdot 1} = log_2 \ x\\ \\log_2 \ (x - 1) + \frac{log_2 \ (x-2)}{-1} = log_2\ x$

$\\log_2 \ ( \frac{x-1}{x-2})= log_2 \ x\\ \\\frac{x-1}{x-2}= x\\ \\x\cdot(x-2)=x-1\\ \\x^2-2x=x-1\\ \\x^2-2x-x+1=0\\ \\x^2-3x+1=0$
Pela Condição de existência:
x - 1 > 0    e     x - 2 > 0
x > 0 + 1   e     x > 0 + 2
x > 1         e     x > 2

logo, x > 2 para atender ambas situações.
Observe que das duas soluções obtidas na a equação do 2º grau, apenas a x' satisfaz a condição de existência.
$S=\{ \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \}$