Question

2 Um proj´etil na origem do sistema de coordenadas xyz ´e lan¸cado com velocidade inicial ~v0A = ˆi + kˆ. No mesmo instante, um proj´etil tamb´em na origem ´e lan¸cado com velocidade inicial ~v0B = ˆj + kˆ. Considere a acelera¸c˜ao gravitacional como ~g = −10kˆ. Encontre a distˆancia entre A e B como uma fun¸c˜ao do tempo e esboce o gr´afico dessa rela¸c˜ao funcional. Considerando o plano xy como o solo, qual a distˆancia m´axima entre os pontos?

Answer 1

Olá Thality, Primeiro temos que entender o que o sistemas de coordenadas nos diz, olhando podemos notar que existe o mesmo valor para a coordenada K, e está esta presente nas duas.  Existem varias maneiras de responder, uma delas é considerar essa coordenada K como sendo o eixo z do espaço, isto é a coordenada que diz a respeito da altura, e calcularmos o tempo que os dois projéteis cairão. Podemos afirmar que será o mesmo pois além de serem numericamente iguais nas duas, estão sugeitas a mesma aceleração.   Usando a fórmula Vf=Vo+at, e igualando a Vf a 0, acharemos quando o projétil começará a cair, assim já que o tempo que leva de subida é o mesmo de descida, para saber o tempo que ele cai, basta multiplicar por dois.   0=1-10t   ->  t=1/10  -> 2* 1/10 = 1/5.   Sabemos agora o tempo que projétil estará em voo, supondo que a distancia máxima será quando os dois estiverem caídos,  basta calcular a distancia horizontal que percorrerá, para isso usaremos S=So+vt.   S=0+1*(1/5), os projéteis percorrerão 1/5 u.c (unidade de comprimento que o problema n diz).  Note que os valores são iguais, porém são de diferentes coordenadas.   Para saber a distancia entre os dois, basta usar o teorema de Pitágoras, onde os catetos serão iguais.

$( \frac{1}{5} )^{2} + ( \frac{1}{5} )^{2} = distancia^{2}$

O valor da distancia máxima será ≈ 0.3 u.d.

Para achar a função que descreve essa distancia, já que as velocidades são iguais, basta substituir cada cateto pela fórmula da velocidade constante, já que estamos lidando não com a coordenada de altura. 

$(vt)^{2}+(vt)^{2}=distancia^{2}$
Note que considerei So como 0, pois partem da origem.

Fórmula : $distancia= \sqrt{2(1t^{2})}$

Note que como a velocidade não muda, podemos considerar sempre como 1.

 Espero ter ajudado.