Question

2) Seja o triângulo de vértices A( 2, 1, 3), B( 1, 0, - 1) e C(-1, 2, 1). Determine o ângulo Â.

Answer 1

Como A, B e C formam um triângulo, o ângulo A será formado pelos vetores AB e AC.

AB = B - A = ( 1, 0, - 1) - ( 2, 1, 3) = (-1, -1, -4)
AC = C - A = (-1, 2, 1) - ( 2, 1, 3) = (-3, 1, -2)

Agora, lembrando que o produto escalar entre dois vetores é dado por:

u . v = |u|.|v|. cos(x), sendo x o ângulo entre u e v. No nosso caso teremos:

AB . AC = |AB|.|AC|, cos(x)

AB . AC = (-1, -1, -4) . (-3, 1, -2) = (-1) . (-3) +(-1). 1 + (-4). (-2) = 3-1+8 = 10

|AB| = √((-1)²+ (-1)²+ (-4)²) = √(1 + 1 + 16) = √18
|AC| = √((-3)²+ (1)²+ (-2)²) = √(9 + 1 + 4) = √14

Então:

AB . AC = |AB|.|AC|, cos(x)
cos(x) = AB . AC   /   |AB|.|AC|
cos(x) = 10 /(√18 . √14)

x = arcsen (10 /(√18 . √14))

Answer 2

O ângulo A é igual a $\alpha = arccos(\frac{5}{3\sqrt{7}})$.

Para determinarmos o ângulo A, vamos utilizar a fórmula do ângulo entre vetores, que é definida por $cos(\alpha)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Sendo os vértices iguais aos pontos A = (2,1,3), B = (1,0,-1) e C = (-1,2,1), vamos considerar que u = AB e v = AC.

Assim, os vetores u e v são:

u = (-1,-1,-4)

v = (-3,1,-2).

Calculando o produto interno entre u e v:

<u,v> = (-1).(-3) + (-1).1 + (-4).(-2)

<u,v> = 3 - 1 + 8

<u,v> = 10.

Agora, precisamos calcular a norma dos dois vetores:

||u||² = (-1)² + (-1)² + 4²

||u||² = 1 + 1 + 16

||u||² = 18

||u|| = 3√2

e

||v||² = (-3)² + 1² + (-2)²

||v||² = 9 + 1 + 4

||v||² = 14

||v|| = √14.

Portanto, o ângulo entre u e v é igual a:

$cos(\alpha)=\frac{10}{3\sqrt{2}.\sqrt{14}}$

$cos(\alpha)=\frac{10}{6\sqrt{7}}$

$cos(\alpha)=\frac{5}{3\sqrt{7}}$

$\alpha = arccos(\frac{5}{3\sqrt{7}})$.

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