Question

2) Seja a matriz A= |2 .... -3 1 ... b a ... 2| e B= |2 1 2| de forma que Ať . B é uma matriz nula. Então a.b elevado a 2 é?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Valentina, que temos isto:

. . . |2...-3|
A = |1....b|
. . . |a....2|

Agora vamos para a transporta (basta que troquemos as linhas pelas colunas). Assim, teremos:

A^(t) = |2....1....a|
. . . . . .|-3...b...2|

Temos também que a matriz B é esta:

. . . .|2|
B =  |1|
. . .. |2|

Agora vamos multiplicar as matrizes A^(t) e B e igualar a uma matriz nula. Assim, teremos:

|2....1...a|*|2| = |0|
|-3...b...2|*|1| = |0|
. . . . . . .....|2| =

Efetuando o produto indicado, teremos isto:

2*2+1*1+a*2 = 0 ---> 4+1+2a = 0 ---> 5+2a = 0 ---> 2a = 5 ---> a = -5/2.
e
-3*2+b*1+2*2 = 0 ---> -6+b+4 = 0 ---> -2+b = 0 ---> b = 2

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é isto:

a*b² ---- substituindo-se "a" por "-5/2" e "b" por "2", teremos;

(-5/2)*2² = (-5/2)*4 = --5*4/2 = -20/2 = -10 <--- Esta deverá ser a resposta.

Observação: veja se a resposta que demos acima "bate" com o gabarito da questão, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Primeiro faremos a transposta de A:

$A=\begin{bmatrix}2&-3\\1&b\\a&2\end{bmatrix}\Rightarrow A^t=\begin{bmatrix}2&1&a\\-3&b&2\end{bmatrix}$

Agora, multiplicando as matrizes:

$\begin{bmatrix}2&1&a\\-3&b&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\1\\2\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}2\cdot2+1\cdot1+a\cdot2\\-3\cdot2+1\cdot b+2\cdot2\end{bmatrix}$

Sendo ela uma matriz nula, então:

$\begin{bmatrix}5+2a\\-2+b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{cases}5+2a=0\\-2+b=0\end{cases}$

$5+2a=0\\\\2a=-5\\\\\boxed{a=-\frac{5}{2}}$

$-2+b=0\\\\\boxed{b=2}$

Achados os valores de a e b, calculamos o pedido:

$a\cdot b^2\to-\frac{5}{2}\cdot2^2\to\boxed{-10}$