Question

2) Resolva, em R,a equação e inequação a seguir

$\frac{|x| + x}{2} = -|x| +2$

$\frac{|x| + x}{2} \ \textless \ -|x| +2$

Answer 1

Resposta:

Equação: $\boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ - 2, 1 \right \}}}$

Inequação: $\boxed{\mathsf{S_2 = \left \{ x \in \mathbb{R} \, / - 2 < x < 0 \; \vee \; 0 \leq x < 1 \right \}}}$

Explicação passo-a-passo:

Lembremo-nos da definição de módulo, veja:

$\mathbf{|x| = \begin{cases} \mathbf{x, \qquad se \; x \geq 0} \\ \mathbf{- x, \; \quad se \; x < 0} \end{cases}}$

Isto posto,

=> EQUAÇÃO:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{|x| + x}{2} = - |x| + 2} \\\\\\ \mathsf{\frac{|x| + x}{2} + |x| - 2 = 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{|x| + x + 2|x| - 4}{2} = 0} \\\\ \mathsf{3|x| + x = 4}$

Com efeito, da definição de módulo, temos:

$\\ \displaystyle \mathsf{3|x| + x = 4} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{3x + x = 4 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 1}}} \\ \mathsf{3 \cdot (- x) + x = 4 \Rightarrow - 2x = 4 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = - 2}}} \end{cases}$

=> INEQUAÇÃO:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{|x| + x}{2} < - |x| + 2} \\\\\\ \mathsf{\frac{|x| + x}{2} + |x| - 2 < 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{|x| + x + 2|x| - 4}{2} < 0} \\\\ \mathsf{\frac{3|x| + x - 4}{2} < 0}$

$\\ \displaystyle \mathsf{3|x| + x - 4 < 0} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{3x + x - 4 < 0, \qquad se \, x \geq 0} \\ \mathsf{- 3x + x - 4 < 0, \quad \; se \, x < 0} \end{cases}$

$\\ \bullet \qquad \mathsf{Se \quad x \geq 0:} \\\\ \mathsf{3x + x - 4 < 0} \\ \mathsf{4x < 4} \\ \mathsf{x < 1}$

Com efeito, $\boxed{\mathsf{0 \leq x < 1}}$

$\\ \bullet \qquad \mathsf{Se \quad x < 0:} \\\\ \mathsf{- 3x + x - 4 < 0} \\ \mathsf{- 2x < 4} \\ \mathsf{x > - 2}$

Com efeito, $\boxed{\mathsf{- 2 < x < 0}}$

Por fim, temos que:

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} \, / - 2 < x < 0 \; \vee \; 0 \leq x < 1 \right \}}}}$

Espero ter ajudado!!

Bons estudos.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Pinlias, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver em R, a equação e a inequação a seguir.

i.1) A equação é esta:

[|x| + x]/2 = - |x| + 2 ------ passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

[|x| + x]/2 + |x| - 2 = 0 ---- mmc, no 1º membro = 2. Assim, utilizando-o apenas no 1º membro, teremos:

[1*(|x| + x) + 2*|x| - 2*2]/2 = 0 ---- desenvolvendo, temos:

[|x| + x + 2|x| - 4]/2 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

[3|x| + x - 4]/2 = 0 ----- note que esta fração só será igual a zero se o numerador for igual a zero, pois zero sobre "2" é igual a zero. Então vamos impor que o numerador acima seja igual a zero. Logo:

3|x| + x - 4 = 0 ----- agora vamos para as condições de existência de equações modulares. Assim teremos:

i.1.1) para x ≥ 0, na função dada [3|x| + x - 4 = 0], teremos:

3x + x - 4 = 0 ----> 4x - 4 = 0 ---> 4x = 4 --> x = 4/4 ---> x = 1 <--- Este é um possível valor para "x".

i.1.2) Para x < 0, na função dada [3|x| + x - 4 = 0], teremos:

3*(-x)  + x - 4 = 0 --> - 3x + x - 4 = 0 ---> -2x - 4 = 0 --> -2x = 4 --> 2x = -4 --> x = -4/2 --> x = - 2 <--- Este é outro possível valor para "x".

i.1.3) Assim, para a equação dada [3|x| + x - 4 = 0] teremos que os valores de "x" serão:

x = 1, ou x = - 2 <---- Esta é a resposta para a equação. Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução para a equação da seguinte forma (colocando-se as raízes em ordem crescente):

S = {-2; 1}.

i.2) A inequação é esta:

[|x| + x]/2 < - |x| + 2 ------- note que como a escrita é idêntica a da equação, só mudando mesmo o sentido que, em vez de igual (como era na equação) muda para menor (na inequação), então a expressão que vamos obter será idêntica à da equação, mudando apenas e tão somente o sentido (que muda para "<" em vez de "="). Assim teremos:

[3|x| + x - 4]/2 < 0 ----- agora note: se temos um numerador dividindo um denominador positivo (atente que "2" é um número positivo) e o resultado terá que ser MENOR do que zero ( < 0 ), então é porque esse numerador é negativo, ou seja, terá que ser menor do que zero. Assim, vamos impor que o numerador seja menor do que zero, ou seja, vamos impor isto:

3|x| + x - 4 < 0  ------ agora vamos aplicar as mesmas condições de existência para inequações modulares, ou:

i.2.1) Para x ≥ 0,  na inequação dada "3|x| + x - 4 < 0", teremos:

3x + x - 4 < 0 ---> 4x - 4 < 0 ---> 4x > 4 ---> x < 4/4 ---> x < 1 ----- Este é uma possível resposta para a primeira hipótese (para x ≥ 0).

1.2.2) para x < 0, na inequação dada "3|x| + x - 4 < 0", teremos:

3*(-x) + x - 4 = 0 ---> -3x + x - 4 < 0 ------> -2x - 4 < 0 ------> - 2x < 4 -----> 2x > -4 -----> x > -4/2 -----> x > -2  ----- Esta é outra possível resposta para a segunda hipótese (para x < 0)

i.2.3) Assim, resumindo, temos, para a inequação, que a resposta será o seguinte intervalo aberto:

- 2 < x < 1 ------ Esta é a resposta para a inequação. Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {x ∈ R | -2 < x < 1}.

Ou, ainda se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que é a mesma coisa:

S = [-2; 1[ ou (-2; 1) ------ Estas duas formas representam um intervalo aberto entre dois extremos.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.