Question

Quando aumentamos em 60% um número real positivo b, seu logaritmo decimal aumenta em 40%. Considerando log 2= 0,3, determine o valor de b^log81

Answer 1

Utilizando propriedades de logaritmos, temos que esta expressão vale 8,7.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte afirmação:

"Quando aumentamos em 60% um número real positivo b, seu logaritmo decimal aumenta em 40%."

Vamos escrever isto como uma equação:

$Log(1,60.b)=1,4.log(b)$

Então usando propriedades de produto e soma de logaritmos, temos:

$Log(1,60.b)=1,4.log(b)$

$Log(1,60)+Log(b)=1,4.log(b)$

$Log(1,60)=1,4.log(b)-Log(b)$

$Log(1,60)=0,4.log(b)$

$Log(\frac{16}{10})=0,4.log(b)$

Usando propriedades de divisão e subtração de logaritmo:

$Log(\frac{16}{10})=0,4.log(b)$

$Log(16)-log(10)=0,4.log(b)$

$Log(2^4)-1=0,4.log(b)$

E usando propriedade de expoentes em logaritmos:

$Log(2^4)-1=0,4.log(b)$

$4.Log(2)-1=0,4.log(b)$

Substituindo o log de 2 por 0,3:

$4.0,3-1=0,4.log(b)$

$1,2-1=0,4.log(b)$

$0,2=0,4.log(b)$

$0,4.log(b)=0,2$

$log(b)=\frac{0,2}{0,4}$

$log(b)=0,5$

Invertendo o logaritmo em exponencial teremos:

$log(b)=0,5$

$10^{0,5}=b$

$10^{\frac{1}{2}}=b$

$b=10^{\frac{1}{2}}$

$b=\sqrt{10}$

Agora que sabemos o valor de "b", podemos resolver a equação:

$b^{log(81)}$

$b^{log(3^4)}$

$b^{4.log(3)}$

Substituindo log de 3 por 0,47:

$b^{4.0,47}$

$b^{1,88}$

Substituindo b:

$10^{\frac{1}{2}^{1,88}}$

$10^{\frac{1,88}{2}}$

$10^{0,94}=8,7$

Assim temos que esta expressão vale 8,7.