Question

2. Observe a ilustração abaixo. Considere cada unidade de medida do plano cartesiano como um metro. A equação que aparece na figura refere-se a elipse. O feixe de luz parte do ponto x=3. Utilize derivação implícita para encontrar a altura que se pede. *

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

2xdx + 8ydy =0

Answer 2

Resposta:

A altura da lâmpada é de 2 m.

Explicação passo a passo:

Observe a figura em anexo:

Os pontos A, B e C formam uma reta:

y-yo=m(x-xo)

Para os pontos A(-5,0) e C(3,h):

yA-yC=m(xA-xC)

0-h=m(-5-3)

-h=m(-8)

m=h/8 (I)

Como a reta tangencia a elipse no ponto B(x,y):

Achar a reta que tangencia a elipse:

d(x²+4y²)/dx=5/dx

2x+8ydy/dx=0, mas dy/dx=m

2x+8ym=0

8ym= -2x

m= -2x/8y

m= -x/4y

y-yo=m(x-xo)

Para os pontos A(-5,0) e B(x,y):

yA-yB=m(xA-xB)

0-yB=m(-5-xB)

yB=m(5+xB) (II)

substituindo m= -x/4y em yB=m(5+x), lembrando que nesse caso y=yB e x=xB

yB= -xB(5+xB)/4yB

4yB²= -xB(5+xB)

Substituindo 4yB²= -xB(5+xB) na equação da elipse x²+4y²=5, lembrando que nesse caso y=yB e x=xB

xB²-xB(5+xB) =5

xB²-5xB-xB²=5

-5xB=5

xB= -1

Substituindo xB= -1 na equação da elipse x²+4y²=5, lembrando que nesse caso y=yB e x=xB

(-1)²+4yB²=5

4yB²=5-1

yB²= 1

yB= ±√1=±1

yB= 1   (observe no gráfico que yB é positivo)

B(-1,1)

Substituindo B(-1,1) em yB=m(5+xB) (II)

1=m(5-1)

m=1/4

Comparando m=1/4 e m=h/8 (I)

h/8=1/4

h=8/4

h=2