Question

2) Observe a figura abaixo, cuja medidas estão em centímetros, e depois responda: 3x 4xy2 - 5 a) Determine o polinômio que representa o perímetro desse retângulo: b) Determine o polinomio que representa a área desse retângulo: c) Determine o valor numérico desse perímetro e dessa área para: X = 5 ey= -2​

Answer 1

A sua questão é interessantíssima pois combina conteúdo de álgebra, geometria plana e polinômios. Bons estudos para você! Eis as soluções:

a) O perímetro representa a medida do contorno de uma figura geométrica. Ele é obtido quando adicionamos as medidas de cada lado da figura. Dessa forma, para calcular o perímetro do retângulo, devemos somar a medida de cada lado:

Perímetro = $4xy^2-5+4xy^2-5+3x+3x$

Como temos alguns valores que se repetem, podemos agrupá-los. Por exemplo, eu vi o -5 duas vezes; podemos representar isso como $2.(-5)$

$P=2.(4xy^2)+2.(3x)+2.(-5)\\\\P=8xy^2+6x-10$

Eis o polinômio!

b) A área de um retângulo é calculada multiplicando a medida de sua base pela medida de sua altura. Portanto:

Área = $(4xy^2-5).3x$

Para resolver essa multiplicação, devemos realizar a propriedade distributiva (o famoso "chuveirinho"):

$A=4xy^2.3x-5.3x$

A partir de agora, devemos respeitar somente a ordem das operações. Lembre-se de que a multiplicação e a divisão sempre devem ser feitas antes da adição e da subtração:

$A=12x^2y^2-15x$

Pronto!

c) Hora de aplicar os polinômios que descobrimos! Para determinar o valor, devemos substituir, dentro dos polinômios, os valores de x e y que a questão forneceu. Vou compilar as informações:

$x=5\\y=-2\\P=8xy^2+6x-10\\A=12x^2y^2-15x$

Primeiro, vamos resolver o perímetro! Sabendo os valores de x e de y, substituiremos onde aparecer x e y:

$P=8.5.(-2)^2+6.5-10$

Agora é só resolver. Na ordem das operações, as potências e raízes devem ser resolvidas antes de todas as outras operações! Lembrando que toda vez que um número negativo é elevado a uma potência par, ele se torna positivo:

$P=8.5.4+6.5-10\\P=160+30-10\\P=180$

Concluímos, assim, que o perímetro do retângulo vale 180 centímetros quando x=5 e y=(-2).

Agora, para calcular a área, o procedimento é o mesmo: substituir os valores que temos de x e y onde o encontrarmos na fórmula que descobrimos.

$A=12.5^2.(-2)^2-15.5\\A=12.25.4-15.5\\A=12.100-75\\A=1200-75\\A=1125$

Percebemos, desta maneira, que a área do retângulo vale 1125 centímetros quando x=5 e y=(-2).