Question

2. O valo de k para que o vetor ū = (1, -2, k) em Rºseja uma combinação
linear dos vetores Ŭ = (3,0,-2) e û = (2,-1,-5).​

Answer 1

O valor de k para que seja combinação linear é

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\boxed{k = 8}\end{aligned}$

Para verificar se um vetor é combinação linear basta fazer o determinante da matriz colocando as coordenadas dos vetores nas linhas, ou seja, vamos supor os vetores:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\vec{u}&= (u_1, \ u_2, \ u_3)\\ \\\vec{v} &= (v_1, \ v_2, \ v_3)\\ \\\vec{w} &= (w_1, \ w_2, \ w_3)\\ \\\end{aligned}$

Para verificar se eles são L.I ou L.D temos que fazer.

  $\Large\displaystyle\begin{aligned}\det \left[\begin{array}{ccc}u_1&u_2&u_3\\\\v_1&v_2&v_3\\\\w_1&w_2&w_3\end{array}\right] \ \text{se }\begin{cases}det \ne 0 \Rightarrow \text{os vetores s\~ao L.I}\\ \\det = 0 \Rightarrow \text{os vetores s\~ao L.D}\end{cases}\end{aligned}$

Então temos que colocar os vetores na matriz e igualar a zero.

                                  $\Large\displaystyle\begin{aligned}\det \left[\begin{array}{ccc}1&-2&k\\\\3&0&-2\\\\2&-1&-5\end{array}\right] = 0\end{aligned}$                                                  

                                                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\Downarrow\end{aligned}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{aligned}-3k -24 &= 0\\ \\3k &= 24 \\ \\k &= 8\end{aligned}$

Logo,

                                                   $\Large\displaystyle\begin{aligned}k = 8\end{aligned}$

Espero ter ajudado,

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