Question

2- (ITA-2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos , 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

Answer 1

$H\'a \ duas \ formas \ de \ se \ resolver : \ a \ forma \ pr\'atica \ e \ a \ convencional.$

$C_{(n,p)} \ = \ \binom{n}{p} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\ \\ C_{(n,p)} \ \Rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ "fatores" \ em \ p \ "espa\c{c}os \\ (ordem \ n\~ao \ importa \ \longrightarrow \ pemuta\c{c}\~oes \ internas \ descontadas)$

$Forma \ pr\'atica \ \Rightarrow \\ \\ Vamos \ \bold{combinar} \ as \ 9 \ pessoas \ livremente \ entre \ as \ 5 \ vagas. \\ Lembrando \ que \ a \ ordem \ de \ escolha \ n\~ao \ nos \ interessa. \\ \\ C_{(9,5)} \ = \ \binom{9}{5} \ = \ \frac{9!}{(9 \ - \ 5)! \ \cdot \ 5!} \ \rightarrow \\ \\ C_{(9,5)} \ = \ \frac{9!}{4! \ \cdot \ 5!} \ \rightarrow \\ \\ C_{(9,5)} \ = \ \frac{9 \ \cdot \ 8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \not{5!}}{24 \ \cdot \ \not{5!}} \ \rightarrow$

$C_{(9,5)} \ = \ 9 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 7 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{C_{(9,5)} \ = \ 126 \ possibilidades}$

$Observe \ que, \ das \ 126 \ possibilidades \ totais, \ apenas \ uma \ \'e \ inv\'alida. \\ \\ Existe \ apenas \ uma \ forma \ de \ colocarmos \ 5 \ rapazes\ \ na \ comiss\~ao \\ (inv\'alido \ \`a \ restri\c{c}\~ao) \ e \ nenhuma \ forma \ de \ colocarmos \ 5 \ mo\c{c}as \\ (porque \ s\~ao \ apenas \ 4). \\ \\ Ou \ seja, \ das \ 126, \ apenas \ uma \ tem \ 5 \ meninos \ e \ nenhuma \ menina. \\ O \ resto \ tem \ pelo \ menos \ 1 \ menino \ e \ 1 \ menina.$

$Ou \ seja, \ temos \ (126 \ - \ 1) \ = \ \boxed{\boxed{125 \ comiss\~oes \ poss\'iveis}}.$


$Forma \ convencional \ \Rightarrow \\ \\ Primeira \ forma \ \longrightarrow \ Escolhendo \ 4 \ meninos \ e \ 1 \ menina :$

$\underbrace{C_{(5,4)}}_{meninos} \ \cdot \ \underbrace{C_{(4,1)}}_{meninas} \rightarrow \\ \\ \\ \frac{5!}{1! \ \cdot \ \not{4!}} \ \cdot \frac{\not{4!}}{3! \ \cdot \ 1!} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{20 \ possibilidades}$

$Segunda \ forma \ \longrightarrow \ Escolhendo \ 3 \ meninos \ e \ 2 \ meninas : \\ \\ \underbrace{C_{(5,3)}}_{meninos} \ \cdot \ \underbrace{C_{(4,2)}}_{meninas} \rightarrow \\ \\ \\ \frac{5!}{2! \ \cdot \ 3!} \ \cdot \ \frac{4!}{2! \ \cdot \ 2!} \ \rightarrow$

$\frac{5 \ \cdot \ \not{4} \ \cdot \ \not{3!}}{\not{2!} \ \cdot \ \not{3!}} \ \cdot \ \frac{4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!} \ \cdot \ \not{2!}} \ \rightarrow \\ \\ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3 \ = \ \boxed{60 \ possibilidades}$

$Terceira \ forma \ \longrightarrow \ Escolhendo \ 2 \ meninos \ e \ 3 \ meninas : \\ \\ \underbrace{C_{(5,2)}}_{meninos} \ \cdot \ \underbrace{C_{(4,3)}}_{meninas} \rightarrow$

$\frac{5!}{3! \ \cdot \ 2!} \ \cdot \ \frac{4!}{1! \ \cdot \ 3!} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!} \ \cdot \ 2!} \ \cdot \ \frac{4 \ \cdot \ \not{3!}}{\not{3!}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 4}{2} \ \rightarrow \ \boxed{40 \ possibilidades}$

$Quarta \ forma \ \longrightarrow \ Escolhendo \ 1 \ menino \ e \ 4 \ meninas : \\ \\ \underbrace{C_{(5,1)}}_{meninos} \ \cdot \ \underbrace{C_{(4,4)}}_{meninas} \rightarrow \\ \\ \\ \frac{5!}{4! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ \frac{\not{4!}}{0! \ \cdot \ \not{4!}} \ \rightarrow \\ \\ \frac{5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!}} \ \rightarrow \ \boxed{5 \ possibilidades}$

$Somando \ tudo \ pela \ regra \ do \ \bold{OU} \ \Rightarrow \\ \\ \underbrace{20}_{Primeira \ forma} \ + \ \underbrace{60}_{Segunda \ forma} \ + \ \underbrace{40}_{Terceira \ forma} \ + \underbrace{5}_{Quarta \ forma} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{125 \ possibilidades}}$