Question

2- Em um teste para o desenvolvimento de um produto sem lactose, há voluntários com intolerância à lactose e outros sem intolerância. Nos formulários de identificação preenchidos na entrada, 40% dos voluntários mencionaram sofrer de intolerância e os demais se identificaram como não afetados pelo problema. Estamos interessados na distribuição de probabilidade da variável aleatória “número de voluntários com intolerância à lactose”. Considerando a amostra grande o suficiente para aplicar a distribuição binomial, calcule, para um grupo formado por 4 voluntários escolhidos: a. A probabilidade de nenhum dos 4 voluntários ter intolerância. b. A probabilidade de somente 1 dos 4 voluntários ter intolerância. c. A probabilidade de exatamente 2 dos 4 voluntários terem intolerância. d. A probabilidade de exatamente 3 dos 4 voluntários terem intolerância. e. A probabilidade de todos os 4 voluntários terem intolerância.

Answer 1

Olá!

A probabilidade baseada na distribuição binomial é dada por:

$P (X = k) = \left(\begin{array}{ccc}n\\k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k}(1-p)^{n-k}$

onde p é a probabilidade de sucesso, k é o valor teste e n é a amostra tomada para teste.

Nesse caso temos que p = 0,4 dos voluntários terem intolerância e a amostragem é de n = 4 voluntários. Assim:

a. A probabilidade de nenhum dos 4 voluntários ter intolerância, k = 0:

$P (X = 0) = \frac{4!}{0!(4-0)!} 0,4^{0}(1-0,4)^{4-0}$

$P (X = 0) = (0,6)^{4}$ = 0,1296 = 12,96%

b. A probabilidade de 1 dos 4 voluntários ter intolerância, k = 1:

$P (X = 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} 0,4^{1}(1-0,4)^{4-1}$

$P (X = 1) = \frac{4!}{3!} 0,4^{1}(0,6)^{3}$

$P (X = 1) = 4.0,4.(0,6)^{3}$ = 0,3456 = 34,56%

c. A probabilidade de 2 dos 4 voluntários ter intolerância, k = 2:

$P (X = 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} 0,4^{2}(1-0,4)^{4-2}$

$P (X = 2) = \frac{4!}{2!2!} 0,16.(0,6)^{2}$

$P (X = 2) = 6.0,16.0,36$ = 0,3456 = 34,56%

d. A probabilidade de 3 dos 4 voluntários ter intolerância, k = 3:

$P (X = 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} 0,4^{3}(1-0,4)^{4-3}$

$P (X = 3) = \frac{4!}{3!} 0,064.(0,6)^{1}$

$P (X = 3) = 4.0,064.0,6$ = 0,1536 = 15,36%

e. A probabilidade de 4 dos 4 voluntários ter intolerância, k = 4:

$P (X = 4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} 0,4^{4}(1-0,4)^{4-4}$

$P (X = 4) = \frac{4!}{4!} 0,0256.(0,6)^{0}$ = 0,0256 = 2,56%

Espero ter ajudado!