2) Durante o processo de combinação linear para a geração de um espaço, é importante frisar a importância de os vetores gerados serem LI. Ou seja, que cada um tenha suas coordenadas independentes das coordenadas dos outros vetores.
No caso abaixo, qual deve ser a restrição para que o sistema não seja L.D. (Linearmente Dependente)?
Soluções para a tarefa
A restrição para que o sistema não seja Linearmente Dependente é que a ≠ -11/2.
Observe a seguinte definição:
Três vetores não nulos são Linearmente Independentes se, e somente se, nenhum dos vetores pode ser combinação linear dos outros dois vetores.
Para que três vetores sejam Linearmente Independentes, temos que α.u + β.v + γ.w = 0 e, consequentemente, α = β = γ = 0.
Dados os vetores u₁ = (2,1,-1), u₂ = (2,3,6) e u₃ = (4,1,a), considere os escalares x, y e z.
Assim:
x(2,1,-1) + y(2,3,6) + z(4,1,a) = (0,0,0)
(2x + 2y + 4z, x + 3y + z, -x + 6y + za) = (0,0,0).
Temos o seguinte sistema:
{2x + 2y + 4z = 0
{x + 3y + z = 0
{-x + 6y + za = 0.
Da primeira equação, temos que x = -y - 2z.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
-y - 2z + 3y + z = 0
2y - z = 0
z = 2y.
Assim, x = -5y.
Substituindo os valores de x e z na terceira equação:
-(-5y) + 6y + 2ya = 0
5y + 6y + 2ya = 0
11y + 2ya = 0
y(11 + 2a) = 0.
Como queremos que os três vetores sejam Linearmente Independentes, então pela definição descrita inicialmente, podemos concluir que y = 0 e a ≠ -11/2.