Question

2) Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos:



a) 4+3i

b) 2-2i

c) 3+i

d) 3

e)2i

f) a+bi

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Answer 1

❑ O que é número complexo?

Como os números reais não eram suficientes para resolver todos os problemas, foram criados os números complexos. Um número complexo Z é da seguinte forma:

$\boxed{z = a + bi}$

Sendo:

• a → parte real
• b → parte imaginária
• i → unidade imaginária. Note que i = √-1

❑ Como calcular o módulo de um complexo?

O módulo de um complexo, representado por |Z|, pode ser calculado com a seguinte fórmula:

$\boxed{|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } }$

❑ O que é o argumento de um complexo?

É o ângulo que |Z| faz com o eixo x quando representado em um plano cartesiano. Vamos chamar esse ângulo de alfa para facilitar:

$\alpha = arg \: z$

❑ Como calcular o argumento de um complexo?

Utilizando essas duas relações:

$\cos( \alpha ) = \dfrac{a}{ |z| }$

$\sin(\alpha ) = \dfrac{b}{ |z| }$

❑ Resolução do exercício

a) 4 + 3i

• a = 4
• b = 3

O módulo é:

$|z| = \sqrt{ {4}^{2} + {3}^{2} } = \sqrt{25} = 5$

O argumento:

$\cos( \alpha ) = \dfrac{4}{5}$

$\sin( \alpha ) = \dfrac{3}{5}$

Esses valores nos indicam que temos o ângulo de um triângulo pitagórico com lados 3, 4, 5. Nesse triângulo, os ângulos são 37°, 90° e 53°. Vou deixar um anexado para você. Note que:

• sen 37° = 3/5
• sen53° = 4/5
• cos 37° = 4/5
• cos 53° = 3/5

Logo:

$\alpha = 37$

Portanto, argumento = 37°

b) 2 - 2i

a = 2

b = - 2

$|z| = \sqrt{ {2}^{2} + {( - 2)}^{2} } = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Note que o argumento também pode ser calculado como:

$\tan( \alpha ) = \dfrac{b}{a}$

$\tan( \alpha ) = \dfrac{ - 2}{2} = - 1$

O ângulo cuja tangente é - 1 é - 45° (afinal, o que tem tangente 1 é 45°). Você pode dar essa resposta ou achar o ângulo correspondente positivo. Para isso, basta somar 360° a esse ângulo:

- 45° + 360 = 315°

Caso queira entender melhor essa alternativa, leia em:

• https://brainly.com.br/tarefa/15387449

c) 3 + i

a = 3

b = 1

$|z | = \sqrt{ {3}^{2} + {1}^{2} } = \sqrt{10}$

$\tan( \alpha ) = \dfrac{1}{3}$

O ângulo que tem tangente 1/3 é 18,43° (Você pode calcular esse valor utilizando uma calculadora científica).

d) 3

a = 3

b = 0

$|z| = \sqrt{ {3}^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{ {3}^{2} } = 3$

$\tan( \alpha ) = \dfrac{0}{3} = 0$

O ângulo cuja tangente é 0 é o próprio 0°

e) 2i

a = 0

b = 2

$|z| = \sqrt{ {2}^{2} } = 2$

$\cos( \alpha ) = 0$

$\sin( \alpha ) = \dfrac{2}{2} = 1$

O ângulo cujo seno é 1 e o cosseno é 0 é 90°.

f) a + bi

$\boxed{|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } }$

$\tan( \alpha ) = \dfrac{b}{a}$

❑ Conclusão

a)

• módulo: 5
• argumento: 37°

b)

módulo: 2√2

argumento: 315°

c)

módulo: √10

argumento: 18,43°

d)

módulo: 3

argumento: 0°

e)

módulo: 2

argumento: 90°

f)

módulo:

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

argumento:

arco tangente de alfa, sendo:

$\tan( \alpha ) = \dfrac{b}{a}$

❑ Leia mais em:

• https://brainly.com.br/tarefa/29514827