Question

2. Determine no caderno o valor de x.

Answer 1

Pelo Teorema de Tales, o valor de x na figura da questão equivale a 6.

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O Teorema de Tales garante que em feixes de retas paralelas cortadas por dois feixes de retas transversais, formam-se seguimentos proporcionais. (Veja em anexo uma representação feita por mim).

Dessa maneira analisando a figura da sua tarefa, para encontrarmos o valor de x no seguimento vale a relação:

                                               $\Large\qquad\quad\ \begin{array}{l}\sf\dfrac{~3x~}{12}=\dfrac{~x+3~}{x}\end{array}$

Fazendo algumas manipulações algébricas afim de transformar as expressões:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\dfrac{~3x~}{12}=\dfrac{~x+3~}{x}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~x~}{4}=\dfrac{~x+3~}{x}\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~x~}{\cancel{4}}\cdot\cancel{4}=\dfrac{~x+3~}{x}\cdot4\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{~4^{}x+12~}{x}\\\\\sf\iff~~~x\cdot x=\dfrac{~4^{}x+12~}{\cancel{x}}\cdot \cancel{x}\\\\\sf\iff~~~x^2=4^{}x+12\\\\\sf\iff~~~x^2-4^{}x-12=0\end{array}$

Veja que encontramos uma equação do 2º grau. Sem perder tempo vamos resolvê-la por fatoração:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x^2+2^{}x-6^{}x-2\cdot6=0\\\\\sf\iff~~~x\cdot\big(x+2\big)-6\cdot\big(x+2\big)=0\\\\\sf\iff~~~\big(x+2\big)\cdot\big(x-6\big)=0\\\\\quad\!\therefore\quad~\,\begin{cases}\sf x+2=0~\Leftrightarrow~x\:\!_1=-\,2\\\\\sf x-6=0~\Leftrightarrow~x\:\!_2=6\end{cases}\end{array}$

Encontramos dois valores para x, contudo, como estamos trabalhando com medidas de comprimento, então desconsideramos quaisquer valores negativos uma vez que medida negativa é inexistente. Portanto, x = 6.

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