Question

2. determine a medida a do ângulo do triângulo a seguir

podem me ajudar
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Answer 1

Resposta:

135º

Explicação passo-a-passo:

Bom dia! ^^

Para resolver esse problema vamos precisar utilizar a lei dos cossenos.

A lei dos cossenos diz que:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c \cdot cos(\theta)$

Onde "a" é a medida do lado oposto ao ângulo "$\theta$"; "b" e "c" são as medidas dos lados adjacentes ao ângulo "$\theta$".

Antes de resolver para o ângulo "$\alpha$", precisamos descobrir o terceiro lado do triângulo, pois senão teremos uma equação com duas incógnitas. Portanto vamos aplicar a lei dos cossenos para descobrir o lado do triângulo que falta:

$6^2=x^2+(6\sqrt{2})^2-2(x)(6\sqrt(2)(cos(30)\\36=x^2+(36\cdot2)-2(x)(6\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\36=x^2+72-6\sqrt{6}\cdot(x)\\x^2-6\sqrt{6}\cdot x+72-36=0\\x^2-6\sqrt{6}\cdot x+36=0$

Vou pular a resolução da equação para o texto ficar menor, e porquê eu imagino que para estar fazendo um exercício desse você deve saber resolver uma equação do segundo grau. Se ficar qualquer dúvida me avise que eu altero a resposta e incluo as resoluções.

$x_1=3\sqrt{6}+3\sqrt{2}\\x_2=3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$

Então encontramos duas possibilidades para o terceiro lado do triângulo. Porém só um nos interessa, e a pergunta é: qual?

Vamos ter que realizar a lei dos cossenos com as duas medidas para dizer qual a certa... infelizmente é trabalho braçal.

Então agora já temos que os 3 lados do triângulo medem:

$6;\textbf{ }$

$6\sqrt{2};\textbf{ }$

$3\sqrt{6}+3\sqrt{2}\textbf{ ou } 3\sqrt{6}-3\sqrt{2}$

Agora aplicamos a lei dos cossenos no ângulo "$\alpha$".

$(6\sqrt{2})^2=6^2+(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})^2-2(6)(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\72=36+(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})^2-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\72-(36+(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})^2)=-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\36+(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})^2=-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})^2+36=-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))$

Após expandir e resolver a equação temos:

$-36-36\sqrt{3}=-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\\textbf{ }\\\frac{-36-36\sqrt{3}}{-12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})}=cos(\alpha)\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{36+36\sqrt{3}}{12(3\sqrt{6}+3\sqrt{2})}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{36(1+\sqrt{3})}{36(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

O ângulo correspondente a esse cosseno é o ângulo de 45º. Mas a figura nos mostra um ângulo MAIOR que 90º. Portanto testamos a medida errada. Agora sabemos que a outra medida é a media que queremos. Vamos aplicar a lei dos cossenos a ela e descobrir o ângulo:

$(6\sqrt{2})^2=6^2+(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2-2(6)(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\72=36+(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\72-(36+(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2)=-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\36+(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2=-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2+36=-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))$

Após expandir e resolver, teremos:

$36\sqrt{3}-36=-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})(cos(\alpha))\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{36\sqrt{3}-36}{-12(3\sqrt{6}-3\sqrt{2})}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=\frac{36(\sqrt{3}-1)}{-36(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\textbf{ }\\cos(\alpha)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

O único ângulo maior que 90º e menor que 180º que tem um cosseno que vale $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ é o ângulo de 135º.

Portanto, a nossa resposta é: $\alpha=135^o$

Bons estudos!