Question

2 - Determine a área e o perimetro da figura BED abaixo, inscrita no triângulo retângulo ABC, sabendo que AC
mede 10 cm e que os arcos BD e ED têm seus centros, respectivamente, nos pontos C e A.

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

ΔABC ⇒ retângulo Isósceles  (AB = BC)

AB² + AB² = 10² ⇒ 2AB² = 100 ⇒ AB² = 50  ⇒ AB = 5√2cm (BC = 5√2cm)

seja "S" a área da figura BED

"S" ⇒ área S1 do ΔABC - área S2 do setor 45° de raio 5√2 - área S3 do setor de 45° de raio (10 - 5√2) ou 5(2 - √2)

S1 = (5√2)(5√2)/2 ⇒ S1 = 25

S2 = π(5√2)²/8 ⇒ S2 = 50π/8 ⇒ S2 = 25π/4

S3 = π(10 - 5√2)²/8 ⇒ S3 = π(100 - 100√2 + 50)/8 ⇒ S3 = π(150 - 100√2)/8

então

S = S1 - S2 - S3

S = 25 - 25π/4 - π(150 - 100√2)/8

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Do triângulo ΔABC, temos que

sen 45º = BC/AC = BA/AC, já que o ângulo BAC = 45º. Então,

√2/2 = BC/10

BC = 10.√2/2

BC = DC = R₁ = 5√2 cm

Assim,

EA = DA = R₂ = 10 - 5√2 cm

Seja o arco BD = L₁ e seja o arco ED = L₂

Área BED = área do triângulo ABC - área do setor circular BCD - área do setor circular DAE

Área do setor circular BCD:

360º -------------- πr²

 45º ---------- SBCD

SBCD = 45ºπ(5√2)²/360º

SBCD = 45º.π.50/360º

SBCD = 50π/8 = 25π/4 = 6,25.3,14 = 19,6 cm²

Área do setor circular DEA:

360º ------------------ πr²

45º ---------------- SDEA

SDEA = 45ºπ(10 - 5√2)²/360º

SDEA = π(10 - 5√2)²/8 = π(100 - 100√2 + 50)/8 = π(150 - 100√2)/8 = 10π(15 - 10√2)/8 = 5π(15 - 10√2)/4 = 5π(15 - 14,1)/4 = 5π.0,9/4 = 4,5π/4 = 1,125.3,14 = 3,5 cm², aproximadamente

Área do triângulo ABC:

SABC = b.h/2

SABC = BC.BA/2 = BC² (pois BC = BA)

SABC = (5√2)²/2

SABC = 50/2

SABC = 25 cm²

Então,

SEBD = 25 - 19,6 - 3,5

SEBD = 1,9 cm²

Perímetro de BED:

Cálculo de L₁

360º -------------- 2πr

45º -------------- L₁

L₁ = 45ºπ5√2/360º

L₁ = 5π√2/8

L₁ = 5.3,14.1,41/8

L₁ = 22, 14/8

L₁ = 2,8 cm

Cálculo de L₂

360º ------------ 2πr

45º -------------- L₂

L₂ = 45ºπ(10 - 5√2)/360º

L₂ = π(10 - 7,05)/8

L₂ = 3,14.2,95/8

L₂ = 9,26/8

L₂ = 1,3 cm

BE = BA - EA

BE = 5√2 - (10 - 5√2)

BE = 5√2 - 10 + 5√2

BE = 10√2 - 10

BE = 14,1 - 10

BE = 4,1 cm

Perímetro BDE:

BE + BD + DE, com BD = L₁ e DE = L₂

4,1 + 2,8 + 1,3 = 8,2 cm