Question

2-Dado senx =√ 3/2 , com 0 < x < x/2, determine sen2x,cos2x e tg2x usando as fórmulas do arco duplo.

Answer 1

As fórmulas do arco duplo são:

$sen (2x) = 2sen(x)cos(x) \\ \\ cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) \\ tan(2x) = \dfrac{2 tan(x)}{1-tan^2(x)}$

Se sen(x) = √3/2, pela tabela trigonométrica, encontramos cos(x) = 1/2 e tan(x) = √3.

Calculando sen(2x):
$sen (2x) = 2sen(x)cos(x) \\ sen (2x) = 2 *\dfrac{ \sqrt{3}}{2}* \dfrac{1}{2} \\ \\ sen(2x) = \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

Calculando cos(2x):
$cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) \\ cos(2x) = ( \frac{1}{2} )^2 - (\frac{ \sqrt{3} }{2} )^2 \\ \\ cos(2x) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \\ \\ cos(2x) = - \frac{1}{2}$

Calculando tan(2x):
$tan(2x) = \dfrac{2 tan(x)}{1-tan^2(x)} \\ \\ tan(2x) = \dfrac{2 \sqrt{3} }{1- (\sqrt{3} )^2} \\ \\ tan(2x) = \dfrac{2 \sqrt{3} }{-2} \\ \\ tan(2x) = - \sqrt{3}$