Question

2) Dada a função f:ir -(2) -> ir - (5) definida por f(×)= 5r-3 sobre x-2, determine.


A) f elevado a -1 (x)

B) f elevado a -1 (4)




4) resolva as seguintes equações em ir



A) (0,25) elevado a x-1 =(raiz de 8) elevado a 1-x sobre 2


B ) 7 elevado a 2x - 6×7 elevado a x = 7

Answer 1

Questão 2)

a)

f^-1(x) é a função inversa de f(x) = (5x - 3)/(x - 2).

Para encontrar a função inversa de f(x), primeiramente, isolamos a variável x:

f(x) = (5x - 3)/(x - 2)

f(x).(x - 2) = 5x - 3

x.f(x) - 2.f(x) = 5x - 3

x.f(x) - 5x = 2.f(x) - 3

x(f(x) - 5) = 2.f(x) - 3

x = (2.f(x) - 3)/(f(x) - 5)

Depois de isolar x, substituímos x por f^-1(x) e f(x) por x:

f^-1(x) = (2x - 3)/(x - 5)

Portanto, a função inversa de f(x) = (5x - 3)/(x - 2) é f^-1(x) = (2x - 3)/(x - 5).

Repare que o enunciado do exercício disse que o domínio exclui o número 2 (para que o denominador de f(x) não resulte em 0) e que não pode ter o número 5 na imagem (pois o denominador de f^-1(x) também não pode valer 0).

b)

Se f^-1(x) = (2x - 3)/(x - 5), então:

f^-1(4) = (2.4 - 3)/(4 - 5)

f^-1(4) = (8 - 3)/(-1)

f^-1(4) = -5

Questão 4)

Temos duas equações exponenciais.

a)

A chave para resolver essa primeira equação exponencial é deixar as bases iguais:

$(0,25)^{x - 1} = (\sqrt{8})^{\frac{1 - x}{2}}\\(1/4)^{x - 1} = (\sqrt{8})^{\frac{1 - x}{2}}\\(1/2^{2})^{x - 1} = (\sqrt{2^{3}})^{\frac{1 - x}{2}}\\(2^{-2})^{x - 1} = (2^{3/2})^{\frac{1 - x}{2}}\\2^{-2x + 2} = 2^{\frac{3.(1 - x)}{2.2}}\\2^{-2x + 2} = 2^{\frac{3 - 3x}{4}}$

Como as bases são iguais, então os expoentes também devem ser iguais para que a igualdade seja válida.

Logo:

-2x + 2 = (3 - 3x)/4

4(-2x + 2) = 3 - 3x

-8x + 8 = 3 - 3x

8 - 3 = -3x + 8x

5 = 5x

x = 1

b)

No caso dessa segunda equação exponencial, utilizamos outra metodologia para chegar à solução. Repare que temos um 7^x e um 7^(2x). Podemos fazer uma substituição de variável y = 7^x, e obteremos, dessa forma, uma equação de segundo grau temporária:

7^(2x) - 6.7^x = 7

(7^x)² - 6.7^x = 7

y² - 6y = 7

y² - 6y - 7 = 0

Resolvendo essa equação:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-6)² - 4.1.(-7)

Δ = 36 + 28

Δ = 64

y = (-b ± √Δ)/2a

y = [-(-6) ± √64]/2.1

y = (6 ± 8)/2

y1 = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7

y2 = (6 - 8)/2 = -2/2 = -1

Então, as raízes dessa equação são 7 e -1. Note, porém, que não estamos interessados em saber os valores de y. Queremos saber os valores de x que tornam verdadeira a igualdade 7^(2x) - 6.7^x = 7. Portanto, precisamos retornar à substituição que fizemos:

y = 7^x

Essa substituição serviu apenas como suporte temporário para podermos resolver o exercício. Agora, teremos:

7 = 7^x

ou

-1 = 7^x

Para 7 = 7^x, temos x = 1. Veja que 7 = 7^x => 7¹ = 7^x => x = 1.

Para -1 = 7^x, a solução será um número complexo. Como o enunciado especifica que estamos trabalhando apenas no conjunto dos números reais, podemos descartar essa solução.

Logo, o único valor possível de x é x = 1.