Question

2) Como posso saber se as retas são paralelas ou concorrentes através da lei de formação, sem fazer o gráfico?

Answer 1

Toda reta no plano tem uma lei de formação, determinada por 2 parâmetros, seu coeficiente linear e angular. O coeficiente angular determina o ângulo que a reta faz com eixo x, enquanto o linear determina apenas uma translação da reta ao longo do eixo y. Uma reta r pode ser escrita como

$r: y = mx+q$

Onde m é seu coeficiente angular e q, seu coeficiente linear. Além disso, se o ângulo entre a reta e o eixo x é conhecido e vale θ, então o coeficiente angular também e conhecido e vale

$m = \tan(\theta)$

Retas paralelas

Duas retas são ditas paralelas se o ângulo entre elas e o eixo x são iguais, e portanto nunca se intersectam, como você pode ver na imagem anexada. Duas retas são paralelas se ambos os ângulos α e β são iguais, deste modo, se as retas r e s são paralelas e têm leis de formação

$r: y=m_rx+q_r\\s :y=m_sx+q_s$

Se e somente se o coeficiente angular forem iguais, ou seja, quando

$m_r = m_s$

Exemplo: As retas y = 2x+3 e y = 2x-10 são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular, 2.

Retas concorrentes

Duas retas, r e s, são ditas concorrentes quando elas se intersectam em um ponto. Como você pode ver na figura, implica que retas concorrentes não podem ser paralelas (nunca se intersectam). Deste modo, são concorrentes quaisquer retas que não são paralelas.

Se r e s são concorrentes e têm leis de formação

$r: y=m_rx+q_r\\s :y=m_sx+q_s$

Então, seus coeficientes angulares podem ser quaisquer, desde que

$m_r \neq m_s$

Exemplo: São concorrentes as retas y = 3x+1 e y = x+3, cujos coeficientes angulares são 3 e 1, respectivamente.

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