Question

2) Calcule, usando integração por partes, a seguinte integral: ∫ ( 4 x + 5 ) e x dx int ( 4x + 5 )e^x dx

Answer 1

A técnica de integração por partes nos diz que:

$\int f(x).g'(x)=f(x).g(x)-\int f'(x).g(x)$

Devemos então escolher quem será nossa função f e nossa função g' Nesse caso o mais promissor é tomarmos $f(x)=4x+5$ (fácil de derivar) e $g'(x)=e^x$ (fácil de encontrar a primitiva).

$\int f(x).g'(x)=f(x).g(x)-\int f'(x).g(x)\\\\\int (4x+5)e^xdx=(4x+5)(e^x)-\int 4e^xdx\\\\\int (4x+5)e^xdx=(4x+5)e^x-4e^x+C\\\\\int (4x+5)e^xdx=e^x(4x+5-4)+C\\\\\int (4x+5)e^xdx=e^x(4x+1)+C$