Question

2) Calcule os limites abaixo: lim┬(x→5 )⁡〖(1/x-1/5)/(x-5)〗

Answer 1

Infelizmente não consegui chegar a um resultado sem derivadas. Imagino que seja possível pela regra de L'Hospital, mas não domino essa técnica. No entanto, vou postar já que pode ser útil de alguma forma

Não podemos substituir diretamente porque o denominador resultaria em 0, então o ideal é manipular a expressão.
Vou ajustar logo porque se não a escrita fica muito ruim. Se ficar em dúvida, pergunte.

$\frac{1}{\frac{x-1}{5}} =\frac{5}{x-1}\\\\ \lim_{x \to 5}\frac{\frac{5}{x-1}}{x-5}\\\\\lim_{x \to 5}\frac{5}{(x-1)(x-5)}$

Pela técnica das frações parciais, teremos que descobrir 2 frações que, somadas, são equivalentes à antiga expressão.

$\frac{5}{(x-1)(x-5)}=\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-5}\\\\=\frac{(x-5)A+(x-1)B}{(x-1)(x-5)}\\\\(x-5)A + (x-1)B=5\\Ax + Bx - 5A - B=5\\x(A+B) - 5A - B =5\\\\ \left \{ {{A+B=0} \atop {-5A-B=5}} \right. \\\\B=-A\\-5A-(-A)=5\\-4A=5\\A=-\frac{5}{4}\\B=\frac{5}{4}\\\\\frac{5}{(x-1)(x-5)}=\frac{-\frac{5}{4}}{x-1} + \frac{\frac{5}{4}}{x-5}\\\\=\frac{5}{4(x-5)} - \frac{5}{4(x-1)}$