Question

2 - Calcule o número de divisores, sem mostrá-los,
representados pelas decomposições abaixo.
a) Ni = 23 x 32 x 7 possui
divisores,
b) N2 = 2 x 33 x 11 possui
divisores.
c) N3 = 33 x 5
possui
divisores.
d) N4 = 2 x 33 x7 possui
divisores

gente me ajudem pfvr urgentemente​

Answer 1

Para calcularmos a quantidade de divisores naturais (conjunto N) de um número precisamos que ele esteja na forma fatorada, como estão os quatro de seu exercício.

Essa quantidade de divisores ser um número natural significa apenas que não haverá fração ou raiz, por exemplo. A quantidade de divisores será sempre um número natural, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

O que fazemos é olhar para quantas vezes um número aparece multiplicado por ele mesmo, ou seja, seus expoentes.

No número N1 temos

N1 = 2^3 * 3^2 * 7

O 2 está multiplicado por si mesmo 3 vezes. É 2*2*2 = 2^3

O 3 está multiplicado por si mesmo 2 vezes, pois tem expoente 2.

O sete está sozinho, é só ele mesmo, e seu expoente é 1.

Os expoentes, portanto, são 3, 2 e 1, já que 7 = 7^1.

Agora o raciocínio...

Se o expoente de 2 é 3, isso quer dizer que esse 2 pode vir multiplicado por ele mesmo nenhuma vez, 1 vez, 2 vezes ou até 3 vezes. Ou seja, seus expoentes podem ser 0, 1, 2 ou até mesmo 3. No total são 4 possibilidades para o fator 2. Veja:

2^0

2^1

2^2

2^3

Todas essas 4 possibilidades geram divisores do número original.

2^0 = 1

2^1 = 2

2^2 = 4

2^3 = 8

Então 1, 2, 4 e 8 são divisores do número desconhecido N1.

Pegou a ideia?

Isso acontece com todos os expoentes.

Se os expoentes de N1 são 3, 2 e 1, então as possibilidades para eles são 4, 3 e 2.

Para calcular o total de divisores de N1 precisaremos então usar o Princípio Multiplicativo, ou Princípio Fundamental da Contagem, que diz que a possibilidade de eventos ocorrerem simultaneamente é dada pelo produto dos eventos. É só multiplicá-los entre si.

Daí, teremos as possibilidades 4, 3 e 2 multiplicadas.

4 * 3 * 2 = 24

O número N1 tem, portanto, 24 divisores. Tcharaaam!

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Podemos escrever essa regra da seguinte forma:

Dado um número natural n, sendo n>1, cuja forma fatorada seja

$n = 2^{x}*3^{y}*5^{z}*...$ , com x, y, z,⋯ ∈ N

a quantidade de divisores de n será igual a

$(x+1)*(y+1)*(z+1)*...$

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Entendeu? Agora podemos fazer os outros direto. ^^)

b) N2 = 2 * 3^3 * 11  

Seus fatores têm expoentes 1, 3 e 1

Portanto, ele tem 2 * 4 * 2 = 16 divisores naturais.

c) N3 = 3^3 * 5

Seus fatores têm expoentes 3 e 1

Portanto, ele tem 4 * 2 = 8 divisores naturais.

d) N4 = 2 * 3^3 * 7

Seus fatores têm expoentes 1, 3 e 1

Portanto, ele tem 2 * 4 * 2 = 16 divisores naturais.

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De fato, isso é verdadeiro.

Se fizermos as multiplicações e encontrarmos os números desconhecidos, e depois contarmos seus divisores, encontraremos a quantidade descoberta aí em cima.

Ex.:

N3 = 3^3 * 5 = 27 * 5 = 135

Seus divisores são:

D(135) = {1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135}

No total, 8 divisores! ^^)

Bons estudos para você.

Inté!