Question

2. As soluções da equação 2secx-2cosx=3que pertence ao intervalo (-π2,π2) são:

Answer 1

Vamos rearranjar a equação utilizando a seguinte identidade trigonométrica, de modo que todos os termos possuam a mesma função trigonométrica:

$\displaystyle \sec x = \frac{1}{\cos x}$

Então:

$\displaystyle 2 \sec x - 2 \cos x = 3 \\ \\ \\ \frac{2}{\cos x} - 2 \cos x = 3 \\ \\ \\ \frac{2-2 \cos^2 x}{\cos x} = 3$

Agora já podemos chamar cos(x) de y. Daí temos:

$\displaystyle \frac{2-2y^2}{y} = 3 \\ \\ \\ 2-2y^2=3y \\ \\ \\ -2y^2-3y+2=0$

Resolvendo essa equação nós encontramos y = 1/2 e -2

Só temos que igualar o cos(x) à esses dois valores separadamente para encontrar os respectivos valores que satisfaçam a igualdade:

$\displaystyle \cos x = \frac{1}{2} \\ \\ \\ x = \frac{\frac{1}{2}}{\cos} \\ \\ \\ x = \frac{1}{2} \cdot \cos^{-1} \\ \\ \\ x = \arccos \bigg(\frac{1}{2} \bigg) \\ \\ \\ x = \frac{\pi}{3}$

Não adianta nem fazer o arco cosseno de -2, pois o domínio da função arccos(x) é somente o intervalo fechado [-1,1].

Bom, x = ± π/3 é o único valor que faz com que a função tenha uma imagem igual a 3, ou seja, y = 3, mas somente dentro do intervalo fechado [-π/2,π/2]. Dentro de outros intervalos existem outros valores de x que satisfazem a igualdade, e o raciocínio para encontrar esses valores é o mesmo usado aqui.