Question

2- As alturas de um triângulo equilátero têm comprimento 8√3 cm.

a) Quanto mede cada lado desse triângulo?
b) Calcule a área do triângulo.

Answer 1

a)
L= lado do triângulo

h=L√3/2
8√3=L√3/2
L=2.8√3/√3
L=16 cm

b)
A= área
b= base
h= altura

A=b.h/2
A=16.8√3/2
A=64√3 cm²
ou se considerarmos √3=1,732
A=64.1,732
A=~110,848 cm²

Answer 2

Olá.

Triângulo equilátero consiste em um triângulo que tem todos os seus lados iguais.

Questão A

Uma fórmula fechada para a altura de um triângulo equilátero pode ser obtida através da aplicação do Teorema de Pitágoras - pois o triângulo equilátero pode ser dividido em dois triângulos retângulos, como demonstro na imagem em anexo.

No desenho em anexo, o triângulo equilátero foi dividido em dois triângulos retângulos - um na direita, outro na esquerda. Assim sendo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, onde a soma dos quadrados dos catetos são iguais ao quadrado da hipotenusa.

No caso dessa questão, usarei o triângulo da direita, onde:

AC: lado (l) ou hipotenusa;
AD: altura ou cateto 1;
DC: lado/2 (metade do lado) ou cateto 2.

Pensando no que foi supramencionado, vamos isolar um valor para o lado.

$\mathsf{hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2}\\\\\\\mathsf{l^2=h^2+\left(\dfrac{l}{2}\right)^2}\\\\\\\mathsf{h^2=l^2-\left(\dfrac{l}{2}\right)^2}\\\\\\\mathsf{h^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}}$

Igualando frações no segundo membro, teremos:

$\mathsf{h^2=l^2-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4}{4}\cdot l^2-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4l^2}{4}-\dfrac{l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{4l^2-l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{h^2=\dfrac{3l^2}{4}}\\\\\\\mathsf{4h^2=3l^2}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{4h^2}{3}=l^2}$

Encontrando uma fórmula final para o lado, teremos:

$\mathsf{\dfrac{4h^2}{3}=l^2}\\\\\\\mathsf{\sqrt{\dfrac{4h^2}{3}}=l}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{4h^2}}{\sqrt3}=l}\\\\\\\mathsf{\underline{\dfrac{2h}{\sqrt3}=l}}$

Calculando o valor do lado, teremos:

$\mathsf{l=\dfrac{2h}{\sqrt3}}\\\\\\\mathsf{l=\dfrac{2(8\sqrt3)}{\sqrt3}}\\\\\\\mathsf{l=\dfrac{16\diagup\!\!\!\sqrt3}{\diagup\!\!\!\sqrt3}}\\\\\\\mathsf{l=16cm}$

Questão B

Para encontrar a área de um triângulo, que é a metade de um quadrado, multiplicamos a base (b) com a altura (h) e dividimos o resultado por 2. Algebricamente, temos:

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}$

Usando a fórmula acima, vamos aos cálculos. Vale denotar que a base consiste no lado do triângulo equilátero.

$\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{16\cdot8\sqrt3}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{128\sqrt3}{2}}\\\\\\\mathsf{A_{\triangle}=64\sqrt3cm^2}\\\\\therefore\\\\\mathsf{A_{\triangle}\approx64\cdot1,73=110,72}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.