Question

POSIÇÃO RELATIVA entre a circunferência x² + y² – 2x = 0 e a reta r: 2x – y + 1 = 0

Answer 1

Temos as equações gerais de uma circunferência e uma reta:

     •  $\mathsf{\lambda:~~x^2+y^2-2x=0}$

     •  $\mathsf{r:~~2x-y+1=0}$


Primeiramente, vamos encontrar o raio R da circunferência. Para isso, temos que reescrever a equação na forma reduzida:

     $\mathsf{\lambda:~~(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2}$


Partindo da equação geral, temos que completar quadrados:

     $\mathsf{\lambda:~~x^2+y^2-2x=0}$


Some 1 aos dois lados da equação:

     $\mathsf{\lambda:~~x^2+y^2-2x+1=1}\\\\ \mathsf{\lambda:~~(x^2-2x+1)+y^2=1}\\\\ \mathsf{\lambda:~~(x-1)^2+(y-0)^2=1^2}$


Da equação reduzida acima, tiramos que

     •  o centro da circunferência é o ponto C(1, 0);

     •  o raio da circunferência é R = 1.


Agora, vamos calcular a distância do centro da circunferência até a reta r, usando a fórmula:

     $\mathsf{d_{C,r}=\dfrac{|ax_C+by_C+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

onde a, b, c são os coeficientes da equação geral da reta r.


     $\mathsf{d_{C,r}=\dfrac{|2x_C-y_C+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}}\\\\\\ \mathsf{d_{C,r}=\dfrac{|2\cdot 1-0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}}\\\\\\ \mathsf{d_{C,r}=\dfrac{|2-0+1|}{\sqrt{4+1}}}\\\\\\ \mathsf{d_{C,r}=\dfrac{|3|}{\sqrt{5}}}$

     $\mathsf{d_{C,r}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}}$


Devemos comparar essa distância acima com o raio R da circunferência. Sabemos que

     $\mathsf{9>5}\\\\ \mathsf{3^2>(\sqrt{5})^2}\\\\ \mathsf{3>\sqrt{5}}\\\\ \mathsf{\dfrac{3}{\sqrt{5}}>1}$

     $\mathsf{d_{C,r}>R}$       ✔


Como a distância do centro da circunferência até a reta r é maior que a medida do raio, então a reta é externa à circunferência.


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Bons estudos! :-)