Question

(2^2/3 x 4^1/2) dividido por 8^5/6 é igual a...?
Já tentei usar radiciação, já tentei fazer sem, e não cheguei no resultado (que o gabarito e a calculadora algébrica diz ser 1) de jeito algum. Por favor mande a explicação passo-à-passo se possível!

Questão por escrito: "Dois elevado à dois sobre três, vezes quatro elevado à meio; tudo dito dividido por oito elevado a cinco sobre seis, é igual a..."

Answer 1

⠀⠀A expressão algébrica proposta é igual a $\frac{1}{2^{^5/_6}}$.

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Considerações e resolução

⠀⠀Uma das primeiras coisas que devemos nos atentar ao resolver uma expressão contendo potências é verificar se elas podem ser reescritas em bases iguais. Por exemplo, uma potência de base nove pode ser reescrita para uma potência de base três: 9 = 3².

⠀⠀Assim, perceba que na expressão dessa questão todas as potências podem ser reescritas na base dois, e, por conseguinte, podemos multiplicar os expoentes por conta das potências de potências:

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                                      $\Large\begin{array}{c}\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^2/_3}\cdot(2^2)^{^1/_2}}{(2^3)^{^5/_6}}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^2/_3}\cdot2^{^2/_2}}{2^{^{15}/_6}}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^2/_3}\cdot2^1}{2^{^5/_2}}\end{array}$

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⠀⠀Agora fica mais fácil resolver; numa multiplicação de potências de bases iguais nós conservamos a base e adicionamos os expoentes, então:

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                                         $\Large\begin{array}{c}\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^2/_3\,+\,1}}{2^{^5/_2}}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^2/_3\,+\,^3/_3}}{2^{^5/_2}}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{2^{^5/_3}}{2^{^5/_2}}\end{array}$

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⠀⠀E por fim, numa divisão de potências de bases iguais podemos conservar a base e subtrair os expoentes:

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                                        $\Large\begin{array}{c}\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=2^{^5/_3\,-\,^5/_2}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=2^{^{10}/_6\,-\,^{15}/_6}\\\\\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=2^{-\,^5/_6}\\\\\!\boxed{\dfrac{2^{^2/_3}\cdot4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\dfrac{1}{2^{^5/_6}}}\end{array}$

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⠀⠀Na ultima etapa, pelo fato do expoente estar negativo fizemos o inverso da base, assim passando para um expoente positivo. Portanto, veja que o gabarito está incorreto, e creio você não colocou corretamente a expressão na calculadora.

⠀⠀Na dúvida sugiro colocar a igualdade $\frac{2^{^2/_3}~\cdot~4^{^1/_2}}{8^{^5/_6}}=\frac{1}{2^{^5/_6}}$ na calculadora, assim você vai ver que ela é sim verdadeira.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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                         $\large\boldsymbol{B\theta\eta s~\epsilon s\tau\upsilon d\theta s~\epsilon~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!}$