Question

(2,0) Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O raio de base r = r (t) e a altura h = h (t) variam com o tempo. No instante em que a altura vale 10 cm, ela está aumentando a uma taxa de 2 cm/s e, nesse mesmo instante, o raio da base vale 12 cm e está aumentando a uma taxa de 1 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume do cone neste instante. Adote π=3.

Answer 1

Vamos apenas derivar a fórmula para o cálculo do volume de um cone e substituir os valores, adotando as notações adequadas e analisando cada informação dada:

$\displaystyle \mathsf{ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h } \\ \\ \\ \mathsf{ V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot r^2 \cdot h } \\ \\ \\ \mathsf{ V = r^2 \cdot h } \\ \\ \\ \mathsf{ V' = r^2 ' \cdot h + r^2 \cdot h' } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{dV}{dt} = 2r \cdot \frac{dr}{dt} \cdot h + r^2 \cdot \frac{dh}{dt} } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{dV}{dt} = 2 \cdot 12 \cdot 1 \cdot 10 + 12^2 \cdot 2 } \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \mathsf{ \frac{dV}{dt} = 528 \, \, cm^3/s } }}$