Question

1º) Calcule a soma:

a) dos seis primeiros termos da PG (2,8,...); b) dos dez termos iniciais da PG (a², a5,...).​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que:

$\large \displaystyle \text { \sf a) \quad \mathsf{ S_{6} = 2\:730 } }$

$\large \displaystyle \text { \sf b) \quad \mathsf{ S_{10} = \dfrac{ (a^{30} - 1)}{ \left( a - \dfrac{1}{a^2} \right) } } }$

Progressão geométrica ( P. G ) é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo  ( a partir do segundo ) pelo termo anterior que recebe o nome de razão q.

Fórmula do termo geral de uma P . G:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} } } }$

Sendo que:

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ números de termos;

$\boldsymbol{ \textstyle \sf q \to }$ razão.

Soma dos termos de uma P.G finita:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^n - 1)}{q - 1}, \: \: para ~q\neq 1 } } }$

Soma dos termos de uma P.G infinita:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{S_n = \dfrac{a_1 }{1-q}, -1 < q < 1 } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

a) dos seis primeiros termos da P G (2,8,...);

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P.G\: (2,8, \cdots) \to finita\\ \sf n = 6 \\ \sf S_6 = \:? \\ \sf a_1 = 2\\ \sf a_2 = 8 \\ \sf q =\dfrac{a_2}{a_1 } = 4 \end{cases} } }$

Vamos substituir esse valores em:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^n - 1)}{q - 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_6 = \dfrac{2 \cdot ( 4^6 - 1)}{4 - 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_6 = \dfrac{2 \cdot ( 4\:096 - 1)}{3} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_6 = \dfrac{2 \cdot 4\:095}{3} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ S_6 = 2 \cdot 1\: 365 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_6 = 2\:730 }$

b) dos dez termos iniciais da PG (a², a5,...).​

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf P.G \: ( a^2, a^5, \cdots) \to finita\\ \sf n = 10 \\ \sf s_{10} = \:?\\ \sf a_1 = a^2 \\\sf a_2 = a^5 \end{cases} } }$

Primeiramente devemos determinar a razão.

$\large \displaystyle \mathsf{a_2 = a_1 \cdot q }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ q = \dfrac{a_2}{a_1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{q = \dfrac{a^5}{a^2} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ q = a^3 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_n = \dfrac{a_1 \cdot ( q^n - 1)}{q - 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{10} = \dfrac{a \cdot ( (a^3)^{10} - 1)}{a^3 - 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{10} = \dfrac{a^2 \cdot (a^{30} - 1)}{a^3 - 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S_{10} = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ a^2} \cdot (a^{30} - 1)}{ \diagup\!\!\!{ a^2} \cdot \left( a - \dfrac{1}{a^2} \right) } } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{10} = \dfrac{ (a^{30} - 1)}{ \left( a - \dfrac{1}{a^2} \right) } }$

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Answer 2

Depois de resolvermos as questões encontramos as respectivas respostas para as somas das duas Progressões Geométricas propostas:

$a) S_{n} =2730$

$b) S= \dfrac{(a^{30}-1) }{(a-\dfrac{1}{a^2}) }$

PG - Progressão Geométrica

Calcule a soma:

a) dos seis primeiros termos da PG (2,8,...)

A razão achamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:

8/2 = 4

Fórmula da Soma dos Termos      

$S_{n} =\dfrac{a_{1}(q^n-1) }{q-1}$         $a_{1} = 2\quad q = 4\quad n=6$                          

--------------------------------------------------------------

$S_{n} =\dfrac{a_{1}(q^n-1) }{q-1}$

$S_{n} =\dfrac{2(4^6-1) }{4-1}$

$S_{n} =\dfrac{2(4096-1) }{3}$

$S_{n} =\dfrac{2(4095) }{3}$

$S_{n} =\dfrac{8190 }{3}$

$S_{n} =2730$              

b) dos dez termos iniciais da PG (a², a⁵,...).​

Encontramos a razão dividindo a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³

Dados da PG:

$a_{1} = a^2 \quad q = a^3\quad n = 10$

$S_{n} =\dfrac{a_{1}(q^n-1) }{q-1}$

$S_{n} =\dfrac{a^{2}[(a^3)^{10}-1] }{a^3 - 1}$

$S_{n} =\dfrac{a^{^2}[a^{30} -1] }{a^3 - 1}$

$S_{n} =\dfrac{a^2.a^{30}-a^2.1 }{a^3-1}$

$S_{n} =\dfrac{a^{32}-a^2}{a^3-1}$

$S= \dfrac{a^2(a^{30}-1) }{a^2(a-\dfrac{1}{a^2}) }$  

Cortando o a²:

$S= \dfrac{(a^{30}-1) }{(a-\dfrac{1}{a^2}) }$

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