Question

1Dada uma piramide hexagonal regularde área da base 6 raiz quadrada de 3 e area lateral 12 raiz quadrada de 2 cm. determine:
Aresta
Apotema da base da piramide
apotema da piramide
Altura da piramide

Answer 1

A área de um hexágono regular é calculada por:

$\boxed{A_b=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}}$

Assim, podemos encontrar a aresta:

$6\sqrt{3}=\frac{6a^2\sqrt{3}}{4}\\\\ 1=\frac{a^2}{4}\\\\ a^2=4\\\\ \boxed{a=2\ cm}$

Agora, a apótema da base é a altura de um triângulo equilátero:

$g=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\\ g=\frac{2\sqrt{3}}{2}\\\\ \boxed{g=\sqrt{3}\ cm}$

A área lateral é 6 vezes a área da face, que são 6 triângulos de base 2 cm e altura apótema da pirâmide

$A_l=6A_f\\\\ A_l=6(\frac{a*G}{2})\\\\ 12\sqrt{2}=6(\frac{2*G}{2})\\\\ 12\sqrt{2}=6G\\\\ G=\frac{12\sqrt{2}}{6}\\\\ \boxed{G=2\sqrt{2}\ cm}$

Pronto, agora, por pitágoras, encontramos a altura.... a altura e a apótema da base são catetos enquanto a apótema da pirâmide a hipotenusa

$G^2=h^2+g^2\\\\ (2\sqrt{2})^2=h^2+(\sqrt{2})^2\\\\ 8=h^2+2\\\\ h^2=6\\\\ \boxed{h=\sqrt{6}\ cm}$