Question

1ª) Resolver a seguinte equação diferencial

x² y"−2xy'+2y = 3x​

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{y(x)=c_1x+c_2x^2-3x\cdot(1+ln|x|)}$

Explicação passo-a-passo:

A equação de Euler-Cauchy é um caso particular de uma EDO linear não homogênea de 2ª ordem.

$\boxed{\mathsf{y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)}}$

A solução geral de uma EDO não homogênea é dada por:

$\boxed{\mathsf{y_g(x)=y_h(x)+y_p(x)}}$

onde

$\mathsf{y_h(x)}$ = solução da equação homogênea;

$\mathsf{y_b(x)}$ = solução da equação particular.

Agora, vamos a resolução!

1. Solução da equação homogênea:

1. Suponha que $\mathsf{y=y(x)=x^{\alpha}}$ com $\mathsf{x \neq 0}$ é solução da equação homogênea:

$\mathsf{x^2y''-2xy'+2y=0}$

2. Temos que:

$\mathsf{y'(x)=\alpha\cdot x^{\alpha-1}}\\\\\mathsf{y''(x)=\alpha \cdot (\alpha-1)x^{\alpha-2}}$

3. Substituindo:

$\mathsf{x^2\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot x^{\alpha}x^{-2}-2x\alpha x^{\alpha} x^{-1} + 2x^{\alpha}=0}\\\\\mathsf{x^{\alpha}\cdot(\alpha^2-3\alpha+2)=0}$

4. Como $\mathsf{x^{\alpha} \neq 0 \;\forall \; \alpha\in} \;\mathbb{R^{*}}$, logo é o polinômio em alfa que deve ser nulo:

$\mathsf{\alpha^2-3\alpha+2=0}\\\\\therefore \mathsf{\alpha_1=1}\\\\\therefore \alpha_2=2}$

• Se $\mathsf{\alpha_1=1}\rightarrow \boxed{\mathsf{y_1(x)=c_1x}}$

• Se $\mathsf{\alpha_2=2}\rightarrow \boxed{\mathsf{y_2(x)=c_2x^2}}$

5. A solução da equação homogênea é a combinação linear das soluções individuais:

$\mathsf{y_h(x)=y_1(x)+y_2(x)}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y_h(x)=c_1x+c_2x^2}}$

onde c₁ e c₂ são constantes reais não nulas.

2. Solução da equação particular:

1. Vamos determinar a solução particular da EDO por variação de parâmetros.

2. No método de variação de parâmetros queremos encontrar funções u₁(x) e u₂(x) tais que:

$\mathsf{y_p(x)=u_1(x)\cdot y_1(x)+u_2(x)\cdot y_2(x)}$

seja solução da EDO linear não homogênea de 2ª ordem.

3. Calculamos o determinante Wronskiano das soluções base:

$\mathsf{y_{1b}(x)=x}$

$\mathsf{y_{2b}(x)=x^2}$

$\mathsf{W(x)=\begin{vmatrix}\mathsf{y_{1b}(x)} & \mathsf{y_{2b}(x)} \\\\\mathsf{y'_{1b}(x)} & \mathsf{y'_{2b}(x)} \end{vmatrix}}$

$\mathsf{W(x)}=\begin{vmatrix}\mathsf{x} & \mathsf{x^2} \\\\\mathsf{1} & \mathsf{2x}} \end{vmatrix}=\mathsf{x^2}$

4. Agora vamos obter as funções u₁(x) e u₂(x). Dividindo a EDO original por x², obtemos:

$\mathsf{y''-\dfrac{2}{x}y'+\dfrac{2}{x^2}y=\dfrac{3}{x}}$

5. Seja f(x) = 3/x, então temos:

$\boxed{\mathsf{u_1(x)=- \displaystyle \int {\dfrac{y_{2b}(x)\cdot f(x)}{W(x)}} \, dx }}}$

$\mathsf{u_1(x)=- \displaystyle \int {\dfrac{x^2\cdot \dfrac{3}{x}}{x^2}} \, dx }}\\\\\\\therefore \boxed{\mathsf{u_1(x)=-3\cdot ln|x|}}$

$\boxed{\mathsf{u_2(x)=\displaystyle \int {\dfrac{y_{1b}(x)\cdot f(x)}{W(x)}} \, dx }}}$

$\mathsf{u_2(x)= \displaystyle \int {\dfrac{x\cdot \dfrac{3}{x}}{x^2}} \, dx }}\\\\\\\therefore \boxed{\mathsf{u_2(x)=\dfrac{3}{x}}}$

6. A solução particular é, portanto:

$\mathsf{y_p(x)=u_1(x)\cdot y_{1b}(x)+u_2(x)\cdot y_{2b}(x)}\\\\\mathsf{y_p(x)=-3\cdot ln|x|\cdot x-\dfrac{3}{x}\cdot x^2}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y_p(x)=-3x(1+ln|x|)}}$

3. Solução geral:

A solução geral é portanto:

$\mathsf{y_g(x)=y_h(x)+y_p(x)}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y_g(x)=c_1x+c_2x^2-3x\cdot(1+ln|x|)}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Equação de Euler-Cauchy

https://www.youtube.com/watch?v=vJUYj-jy_9g

Bons estudos! =D

Equipe Brainly