Question

1ª) Dada a função f(x)= ax² + bx + 10, calcule a e b sabendo que suas raizes são -2 e 5.

2ª) Dada a função f(x)= (k-2) x² - 3k +1, calcule k para que a soma das raizes seja igual ao seu produto.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Enoque, que é simples.

1ª questão: Dada a função f(x) = ax² + bx + 10, calcule os valores de "a" e de "b", sabendo-se que as raízes dessa equação são "-1" e "5".

Veja: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Então, se substituirmos o "x" da equação acima por "-2" e depois por "5", vamos zerar f(x), ou seja, faremos, em ambas as hipóteses, f(x) igual a "0".
Assim, teremos:

i) Para x = - 2, teremos:

0 = a*(-2)² + b*(-2) + 10
0 = a*4 - 2b + 10
0 = 4a - 2b + 10 ----- ou, o que é a mesma coisa:
4a - 2b + 10 = 0 ---- passando "10" para o 2º membro, teremos:
4a - 2b = - 10 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas assim:

2a - b = - 5    . (I)

ii) Para x = 5, teremos:

0 = a*5² + b*5 + 10
0 = a*25 + b*5 + 10
0 = 25a + 5b + 10 ---- ou, o que é a mesma coisa:
25a + 5b + 10 = 0 ---- passando "10" para o 2º membro, temos:
25a + 5b = - 10 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "5", com o que ficaremos assim:

5a + b = - 2    . (II)

iii) Agora vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (II). Assim:

2a - b = - 5 --- [esta é a expressão (I) normal]
5a + b = - 2 --- [esta é a expressão (II) normal]
-------------------------- somando membro a membro, temos:
7a + 0 = - 7 --- ou apenas:
7a = - 7
a = -7/7
a = - 1 <--- Este é o valor do termo "a".

Agora, para encontrar o valor do termo "b", vamos em quaisquer uma das funções e, em quaisquer uma delas, substituiremos "a" por "-1". Vamos na expressão (II), que é esta:

5a + b = - 2 ------ substituindo "a" por "-1", teremos:
5*(-1) + b = - 2
- 5 + b = - 2
b = - 2 + 5
b = 3 <--- Este é o valor do termo "b".

Ou seja, a equação f(x) = ax² + bx + 10, quando substituirmos "a" por "-1" e "b" por "3", ficará sendo: f(x) = - x² + 3x + 10.

iv) Assim, resumindo a primeira questão, tem-se que os valores de "a" e de "b" são, respectivamente:

- 1 e 3 <--- Esta é a resposta para a primeira questão.

2ª questão: Dada a função f(x) = (k-2)x² - 3kx + 1, calcule o valor de "k" para que a soma das raízes seja igual ao produto das raízes (observação: você não colocou "x" após o termo "-3k". Nós é que colocamos, pois, com certeza ele existe).
Antes veja que:

2.i) A soma (S) das raízes de uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c,  é dada por:

S = -b/a

2.ii) Por sua vez, o produto (P) das raízes de ume equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, é dado por:

P = c/a.

2.iii) Bem, como queremos que a soma das raízes seja igual ao produto das raízes, então deveremos igualar S a P, ou seja, deveremos ter:

S = P

Note que, na função dada, temos que o termo "a" é: (k-2); o termo "b" é: "-3k" e o termo "c" é "1".
Assim, como a soma é: (-b/a) e o produto é: (c/a), teremos:

-(-3k)/(k-2) = 1/(k-2) ---- ou apenas:
3k/(k-2) = 1/(k-2)----- como o denominador (k-2) é, com certeza, diferente de zero, pois se não fosse nem existiria a equação do 2º grau, então poderemos multiplicar ambos os membros por (k-2), com o que ficaremos assim:

3k = 1
k = 1/3 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k" para que a soma das raízes seja igual ao produto das raízes da equação dada.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.