Question

19. O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP,
CQP. AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP
e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2 cm?. Qual é, em
cm?, a área do triângulo APQ?

Answer 1

Resposta:E)11



Explicação passo a passo:6×4=24

24-13=11

os 13 que eu subtrai e a soma de 6+5+2.

Answer 2

A área do triângulo APQ é de 11 cm

Áreas de figuras planas

São formas geométricas que estão situadas no mesmo plano, e podemos calcular suas áreas por meio de fórmulas e relações matemáticas

Como resolvemos este problema?

Primeiro: Descobrindo o desenho da questão

• A imagem da figura do enunciado, encontra-se no final da resposta
• Note que temos um retângulo formado por ABCD
• E temos 4 triângulos:
• ABP  na cor azul claro, com área 6 cm
• CQP na cor vermelha, com área 5 cm
• AQD na cor roxa, com área 2 cm
• APQ na cor cinza, com área desconhecida

Segundo: Relações de áreas

• A área do retângulo é feita pela multiplicação da sua altura e base
• $A = h . b$
• Porém nos desconhecemos sua altura e base, assim iremos chamá-las de h= x e b= y
• $A = h . b = x.y$

• Outra forma de conhecer sua área é pela soma das formas geométricas que estão dentro do retângulo

• Desta forma:

$xy = ABP + CQP + AQD + APQ\\xy = 6 + 5 + 2 + APQ\\xy = 13 + APQ$

• Chamarei o APQ de E para ficar mais fácil, assim a área do retângulo é:  $xy = 13 + E$

Terceiro: Relação das áreas dos triângulo com o retângulo

• A fórmula para calcular a área do triângulo é dado por: $A = \frac{h.b}{2}$
• Assim, teremos:

• Triângulo azul claro:

$6 = \frac{BP . y}{2} \\\\12 = BP . y$

• Triângulo vermelho:

$5 = \frac{PC . QC}{2} \\\\10 = PC . QC$

• Triângulo roxo:

$2 = \frac{DQ. x }{2} \\\\4 = DQ. x$

Quarto: note que os valores de X e Y, podem ser escritos pelas soma das bases e alturas dos triângulos

Assim:

x= BP + PC

y = DQ + QC

Isolando o PC e o QC:

PC = x - BP

QC = y - DQ

Com os dados da terceira etapa, iremos substituir:

Iniciando pela 3 equação;

$1)BP .y = 12\\2)PCQC = 10\\3)DQ.x = 4$

$( x - BP). ( y -DQ) = 10\\xy - xDQ -BPy + BPDQ = 10\\ xy - 12 -4 + (BPDQ) = 10$

• Note que podemos descobrir os valores de BP e DQ, isolando a equação 1 e 3:

$BP .y = 12\\\\\BP=\frac{12}{y}$

$DQ.x = 4 \\DQ = \frac{4}{x}$

$DQBP = (\frac{12}{y} .\frac{4}{x} ) = (\frac{48}{xy})$

Assim, substituindo na fórmula:

$xy - 12 -4 + (\frac{48}{xy})= 10\\\\xy - 16 + (\frac{48}{xy})= 10\\\\\\xy - 16 - 10 + (\frac{48}{xy})= 0\\\\xy - 26 + (\frac{48}{xy})= 0$

• Multiplicamos por xy toda a equação:

$xy.(xy) - 26.(xy) + (\frac{48}{xy}).(xy)= 0\\xy^{2} - 26xy + 48 = 0$

Quinto: Para encontrar os valores que satisfazem a equação, temos que encontrar as raízes da equação de 2 grau

• Iremos encontrar por meio do método de soma e produto

• Soma: $x_{1} +x_{2} = \frac{-b}{a}$

• Produto: $x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a}$

• a= 1; b = -26; c = 48

• $\frac{-b}{a} = \frac{26}{1} = 26$
• $\frac{c}{a} = \frac{48}{1}= 48$

Raízes: Temos que encontrar 2 valores que somados dão 26, e multiplicados são 48

• Note que ambos valores são pares e divisíveis por 2
• Iniciando na multiplicação, 48 dividido por 2 é igual a 24

$\frac{48}{2} = 24\\\\(2). 24 = 48$

• Usando os valores 2 e 24 para a soma

24 +2 = 26

• Encontramos as duas raízes da equação yx= 2 e yx = 24

Sexto: Aplicando na formula da área do retângulo

• Conseguimos resumir a área em:
• $xy = 13 + E\\xy - 13 = E\\E = xy - 13$

• Usando o valor xy = 2

E = 2 - 13 = - 11

• Logo, não pode ser o valor 2, pois da uma área negativa

• Usando o valor xy = 24

E = 24 - 13 =  11

• Desta forma a área do triângulo em cm é de 11 cm

Veja essa e outras questões sobre áreas de figuras planas em: https://brainly.com.br/tarefa/3871079

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