Question

19. Dois irmãos gêmeos de 1,80 m de altura cada observam um balão no céu. Giovanni observa o balão sob um ângulo de 75° e Nicholas, distante 30 m de Giovanni, observa o balão sob um ângulo de 30°. A que altura do solo, aproximadamente, encontra-se o balão?

Answer 1

Olá,

• Veja o desenho na imagem em anexo para ter um maior entendimento da questão.

• Como ambos são triângulos retângulos, e temos apenas valores pra ser encontrados e nos ajudarem a encontrar o outro nos catetos, vamos usar a razão entre os catetos, que é a tangente.

$\boxed{tg\;\alpha=\dfrac{cateto\;oposto}{cateto\;adjacente}}$

• Vamos usar essa relação nos dois ângulos:

$tg30\º=\dfrac{h}{x+30}\\\\\\tg75\º=\dfrac{h}{x}$

• Já dá pra perceber que vamos precisar da tg30º e da tg75º, vamos descobrir então:

• Como 30º é um ângulo comum, a sua tangente é $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, ela está decorada em nossas cabeças, por meio da tabela de sen, cos e tg dos ângulos comuns, que também está em anexo na resposta.
• O ângulo de 75º não é um ângulo comum, mas podemos chegar a sua tg, sabendo que tg75º = tg(30º + 45º), vamos lá:

$tg75\º=tg(30\º+45\º)=\dfrac{tg30\º+tg45\º}{1-tg30\º\cdot tg45\º}\\\\\\tg75\º=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot1}\\\\\\tg75\º=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{3}{3}}{\dfrac{3}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\\tg75\º=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}+3}{3}}{\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}}\\\\\\tg75\º=\dfrac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}\\\\\\tg75\º=\dfrac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\\\\\\tg75\º=\dfrac{3\sqrt{3}+3+9+3\sqrt{3}}{9+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3}$

$tg75\º=\dfrac{12+6\sqrt{3}}{6}\\\\\\\boxed{tg75\º=2+\sqrt{3}}$

• Vamos continuar, aquela etapa de cima, vai ficar assim:

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{h}{x+30}\\\\\\2+\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}$

• Agora temos um sistema de equações do 1º grau, vamos precisar substituir $\sqrt{3}$ por 1,73.

$2+\sqrt{3}=\dfrac{h}{x}\\\\(2+1,73)\cdot x=h\\\\h=3,73x\\\\\\\\\dfrac{1,73}{3}=\dfrac{h}{x+30}\\\\3h=1,73x+30\cdot1,73\\\\3\cdot3,73x=1,73x+51,9\\\\11,19x-1,73x=51,9\\\\9,46x=51,9\\\\x=\dfrac{51,9}{9,46}\\\\\boxed{x\approx5,5}$

• Sabendo o valor de x, podemos substituir em qualquer uma das duas equações ara descobrir o h.

$h=(2+1,73)\cdot5,5\\\\h=3,73\cdot5,5\\\\h\approx20,5m$

• Como a altura do balão é h somado a altura dos irmãos gêmeos:

20,5m + 1,8m = 22,3m

Resposta: O balão está a 22,3m de altura em relação ao solo.

• Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/2660658

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)